Enunciado

Se o carro passa o ponto A com uma velocidade escalar de 20   m / s e começa a aumentar sua velocidade escalar a uma razão constante de a t = 0,5   m / s 2 , determine a intensidade da aceleração do carro quando s = 100   m .

Passo 1

Precisamos determinar a intensidade da aceleração. Como já nos foi dado a sua componente tangencial, só precisamos calcular a sua componente normal. Mas aí a gente se questiona: e cadê o raio de curvatura? Este é o ponto mais difícil da questão. Para calcularmos o raio de curvatura, será necessário utilizarmos a seguinte equação:

ρ = 1 + d y d x 2 3 / 2 d 2 y d x 2

A questão agora é: qual o valor de x ? Como sabemos que s = 100 , temos que Δ x ≅ s para a função dada. Portanto, a coordenada x é 0, ele está na origem (partiu de A, em x = 100 ). Agora, é só calcularmos como sempre fizemos!

Passo 2

Como a aceleração tangencial é constante, calcularemos a velocidade através da seguinte fórmula:

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ s

v 2 = 20 2 + 2 ⋅ 0,5 ⋅ 100

v = 22,4   m / s

Agora que temos a velocidade, já conseguimos calcular a componente normal da aceleração.

Passo 3

Antes de calcularmos a componente normal, precisamos determinar o raio de curvatura. Para isto, utilizaremos a fórmula do Passo 1. Primeiramente, derivaremos a função que governa a nossa curva duas vezes. Sendo assim:

y ' = d y d x = - 2 x 625

y ' ' = d 2 y d x 2 = - 2 625

Substituindo na fórmula do raio de curvatura, temos:

ρ = 1 + 4 x 2 625 2 3 / 2 2 625

Quando x = 0 , temos:

ρ = 625 2 = 312,5   m

Passo 4

Calculando a componente normal, temos:

a n = v 2 ρ = 22,4 2 312,5 = 1,6   m / s 2

Portanto, a intensidade da aceleração é:

a = a t 2 + a n 2

a = 0,5 2 + 1,6 2

a = 1,68   m / s 2

Resposta

a = 1,68   m / s 2

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