Enunciado

O balde possui um peso de 400   N e está suspenso por três molas, cada uma com comprimento não deformado de l o = 0,45   m e rigidez de k = 800   N / m . Determine a distância vertical d da borda do balde ao ponto A para o equilíbrio.

Passo 1

Fala aaai galerinha bonita, tudo beleza? Bora lá fazer essa questão, pra gente encontrar o valor de d , o que deve ser feito primeiramente é o diagrama de corpo livre no qual serão representadas as forças envolvidas:

Onde l é o comprimento da mola e θ é o ângulo formado entre cada cabo e o eixo z .

Como a borda do balde possui uma simetria (divide-se em partes com o mesmo comprimento e mesmo ângulo) e as distâncias do seu centro até os pontos B ,   C   e   D são iguais, então a tração será a mesma em cada cabo.

Assim, lembrando que a força de uma mola é dada pela Lei de Hooke:

F m o l a = k w

Onde w é a variação da mola, temos que F A B = F A C = F A D , tal que:

F A B = F A C = F A D = k w = k l - l 0

Passo 2

Com o diagrama de corpo livre, podemos fazer o desenho de um triângulo no eixo y z :

Para vermos que:

sen ⁡ θ = 0,45 l → l = 0,45 sen ⁡ θ

E, então, conseguimos montar as equações de equilíbrio.

Passo 3

O equilíbrio requer quer que o somatório de forças em cada dimensão seja nulo. Porém, a única força dada pelo enunciado está no eixo z .

Logo, adotando o sentido dos eixos mostrado no diagrama de corpo livre:

∑ F z = 0

Em que as forças em z são da corrente 400   N e das molas F A B ,   F A C ,   F A D :

400 - F A B cos ⁡ θ - F A C cos ⁡ θ - F A D cos ⁡ θ = 0

Mas como as forças das molas são iguais:

⇒ 400 - 3 F A B cos ⁡ θ = 0  

Podemos reescrever como:

3 F A B cos ⁡ θ = 400 → F A B cos ⁡ θ = 400 3

Lembrando que a força da mola é:

F m o l a = k l - l 0

Como o enunciado nos deu que l 0 = 0,45   m , teremos que:

F A B cos ⁡ θ = k 0,45 sen ⁡ θ - 0,45 cos ⁡ θ = 400 3

Substituindo o valor da rigidez k :

800 0,45 sen ⁡ θ - 0,45 cos ⁡ θ = 400 3

Tirando o fator comum e encontrando o MMC dos parênteses:

800 ∙ 0,45 1 - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ = 400 3

Vamos isolar as constantes de um lado só da equação:

1 - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ = 400 3 ∙ 800 ∙ 0,45 = 1 2,7

Como:

cos ⁡ θ sen ⁡ θ = 1 tan ⁡ θ

Podemos escrever a equação como:

1 - sen ⁡ θ tan ⁡ θ = 1 2,7

Ou ainda:

2,7 1 - sen ⁡ θ = tan ⁡ θ

Passo 4

Mas agora que vem a malandragem, porque podemos escrever as funções seno e tangente em função da distância d , tal que:

sen ⁡ θ = 0,45 d 2 + 0,45 2   ,     tan ⁡ θ = 0,45 d

Então se a gente substituir isso na nossa relação, teremos que:

2,7 1 - 0,45 d 2 + 0,45 2 = 0,45 d

2,7 d - 0,45 d d 2 + 0,45 2 = 0,45

0,45 d d 2 + 0,45 2 = 2,7 d - 0,45

Então se a gente elevar ao quadrado dos dois lados, vamos ter que:

0,45 d d 2 + 0,45 2 2 = 2,7 d - 0,45 2

0 , 2025 d 2 d 2 + 0,2025 = 7,3 d 2 - 2,43 d + 0,2025

E se a gente colocar esse polinômio numa calculadora, vamos obter que:

d = 0,502   m

Portanto:

d = 0,502   m

Resposta

d = 0,502   m

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