Enunciado

Como parte de uma verificação de seu projeto, o braço inferior de suspensão (parte da suspensão de um automóvel) é sustentado por mancais em  A   e   B  e submetido ao par de forças de 900   N   e m   C   e   D . A mola da suspensão, não mostrada para melhor clareza da figura, exerce uma força  F S   e m   E , como mostrado, em que  E   está no plano  A B C D . Determine o módulo  F S  da força da mola e os módulos  F A   e   F B  das forças dos mancais em  A   e   B , que são perpendiculares ao eixo  A B  da dobradiça.

Passo 1

Primeiro vamos definir os nossos eixos

E as forças atuando no sistema são as seguintes: as duas forças de 900 N em C   e   D , a força F s da mola, e as forças F A e F b que queremos calcular. Como o enunciado diz que essas duas forças são perpendiculares ao eixo A B , sabemos que elas não tem nenhuma componente no eixo x , ou seja:

F a = A y j ^ + A z k ^

F b = B y j ^ + B Z k ^

E a força F s também pode ser escrita na forma vetorial

F s = F s ⋅ s e n 15 °   j ^ - F s ⋅ cos ⁡ 15 °   k ^

Não vamos desenhar todas essas componentes no desenho para evitar uma confusão, mas elas são fáceis de imaginar por serem paralelas aos eixos x , y   e   z .

Passo 2

Ok, agora vamos analisar as condições de equilíbrio. Os momentos precisam ser nulos em relação a todos os eixos, ou seja

∑ M x = ∑ M y = ∑ M z = 0

Olhando para a figura vamos escrever as expressões para cada um desses momentos, começando pelo eixo x

∑ M x = 0 → 2 ⋅ 900 ⋅ 360 - F s ⋅ cos ⁡ 15 ° ⋅ 170 = 0

Todas as forças em A e B têm momento nulo em relação a x , porque seus pontos de aplicação estão sobre esse eixo. Então só escrevemos os momentos das duas forças de 900 N e de uma componente da força F s .

∑ M y = 0 → 420 ⋅ B z + 900 ⋅ 180 - F s ⋅ cos ⁡ 15 ° ⋅ 300 = 0

Dessa vez as componentes da força F a e uma das forças de 900 N estão sobre o eixo, e B y é paralela a ele. E, agora, é só seguir a mesma lógica para escrever M z

∑ M z = 0 → - B y ⋅ 420 - F s ⋅ s en ⁡ 15 ° ⋅ 300 = 0

Passo 3

Ótimo, agora vamos organizar todas essas equações em um sistema dado por

2 ⋅ 900 ⋅ 360 - F s ⋅ cos ⁡ 15 ° ⋅ 170 = 0 420 ⋅ B z + 900 ⋅ 180 - F s ⋅ cos ⁡ 15 ° ⋅ 300 = 0 - B y ⋅ 420 - F s ⋅ sen ⁡ 15 ° ⋅ 300 = 0

Simplificando tudo quanto for possível obteremos

F s = 3946 420 ⋅ B z - 290 F s + 162000 = 0 - 420 B y - 77,6 ⋅ F s = 0

Substituindo a primeira equação nas outras duas vamos encontrar

B Z = 2339   N   e   B y = - 729   N

OK, já encontramos as componentes da força B e a força F s .

Passo 4

Vamos usar a condição de equilíbrio das forças para encontrar a força A , isso é bem mais simples do que analisar os momentos. Na direção do eixo y temos as seguintes forças

∑ F y = 0 → A y + B y + F s ⋅ s e n 15 ° = 0

E na direção z :

∑ F z = A z + B z - F s ⋅ cos ⁡ 15 ° + 900 + 900 = 0

E substituindo os valores ficamos com um sistema bastante simples

A y - 729 + 3946 ⋅ s e n 15 ° = 0 A z + 2339 - 3946 ⋅ cos ⁡ 15 ° + 1800 = 0

E então

A y = - 292   N ,     A z = - 327 N

Agora só falta calcular os módulos das duas forças F a e F b

F a = A y 2 + A z 2 = 292 2 + 327 2 = 438   N

F b = B y 2 + B z 2 = 2 339 2 + 7 29 2 = 2450   N

Pronto, tá resolvido nosso problema.

Resposta

F a = 438   N ,     F b = 2450   N ,     F s = 3946   N

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