Enunciado

Uma barra de aço e uma de alumínio são unidas firmemente, para formar a viga composta mostrada. Os módulos de elasticidade para o alumínio é de 70   G P a e para o aço 200   G P a . Sabendo-se que a viga é curvada em torno de um eixo horizontal por um momento M = 1500   N ⋅ m , determinar a máxima tensão no: (a) alumínio.

Passo 1

O problema pede o maior momento fletor permissível, que é dado pela equação:

σ = M ⋅ c I

Ou

M = σ ⋅ I c

Onde:

  • σ é a tensão normal admissível.
  • M é o momento fletor.
  • I o momento de inércia.
  • c a maior distância entre a linha neutra e um ponto da peça.

Porém, além de ter que utilizar essa equação temos uma peça formada por dois materiais diferentes e para isso vamos ter que achar a seção transformada. Posteriormente, vamos poder utilizar a nossa equação do momento fletor tranquilamente.

Então vamos lá!

Passo 2

O cálculo da seção transformada é feito da seguinte maneira, sabendo que a viga é encurvada no eixo horizontal. Originalmente temos:

Observe que a linha central (com traços e pontos) está representando o eixo por onde a a viga é encurvada.

Agora vamos transformar essa peça em uma outra equivalente e toda feita de alumínio. Fazemos isso por meio de uma relação da forma:

n = E a ç o E A l

n = 200 70

n = 2,857

Presta atenção agora! Vamos pegar as dimensões da peça de aço que são paralelas ao eixo e multiplicar pelo fator n = 2,857 . Obtendo a seção transformada:

Pronto! Temos a seção transformada (toda em alumínio no caso). Agora vamos calcular o momento de inércia desta seção no passo 3.

Passo 3

O momento de inércia é calculado normalmente, para seções retangulares, da forma:

I = b ⋅ h 3 12

Mas como essa peça não é simétrica, nós temos de achar a linha neutra através de contas. Vamos fazer isso da seguinte forma:

Y - = ∑ y - ⋅ A ∑ A

Onde:

  • Y - é a posição da linha neutra em relação ao centro da peça.
  • y - é a posição do centroide de cada parte da peça.
  • A é a área de cada parte da peça.

Assim vamos ter:

Onde 30   m m é a distância y - do centro da peça ao centroide da parte superior. Assim, vamos achar a posição da linha neutra em:

Y - = ∑ y - ⋅ A ∑ A

Y - = 30 ⋅ 85,71 ⋅ 20 + 0 85,71 ⋅ 20 + ( 30 ⋅ 40 )

Aqui colocamos todas as dimenstões em milímetros e vale lembrar que a distância do centroide da parte inferior ao eixo é igual a zero.

Y - = 51426 1714,2 + 1200

Y - = 17,65   m m

Logo a posição da linha neutra, representada pela linha amarela, será:

Passo 4

Voltando ao cálculo do momento de inércia:

I = b ⋅ h 3 12

Para a parte inferior vamos ter de aplicar o teorema dos eixos paralelos, onde d = Y - :

I i n f = b ⋅ h 3 12 + A ⋅ d ²

I i n f = ( 30 × 10 - 3 ) ⋅ ( 40 × 10 - 3 ) 3 12 + ( 30 × 10 - 3 ) ⋅ ( 40 × 10 - 3 ) ⋅ ( 17,65 × 10 - 3 ) ²

I i n f = 1,6 × 10 - 7 + 3,738 × 10 - 7

I i n f = 5,34 × 10 - 7   m 4

Agora para a parte superior também teremos de aplicar o teorema dos eixos paralaleos, mas agora com d = 30 - Y - . (O 30 vem da distância entre os centroides das duas partes da peça).

I s u p = b ⋅ h 3 12 + A ⋅ d ²

I s u p = ( 85,71 × 10 - 3 ) ⋅ ( 20 × 10 - 3 ) 3 12 + ( 85,71 × 10 - 3 ) ⋅ ( 20 × 10 - 3 ) ⋅ ( 30 - 17,65 × 10 - 3 ) ²

I s u p = 5,714 × 10 - 8 + 2,614 × 10 - 7

I s u p = 3,186 × 10 - 7   m 4

I = I i n f + I s u p

I = 5,34 × 10 - 7 + 3,186 × 10 - 7

I = 8,526 × 10 - 7   m 4

Passo 5

Agora é só jogar na equação da tensão!

σ = M ⋅ c I

Observe que a distância c é a maior distância entre o eixo e a peça!

Para o alumínio:

σ A l = M ⋅ c I

c 2 = 17,65 + 20 = 37,65   m m

σ A l = 1500 ⋅ 0,03765 8,526 × 10 - 7

σ A l = 66,24   M P a

Resposta

a)

σ A l = 66,24   M P a

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