Enunciado

A barra curva mostrada tem seção circular com 32 mm de diâmetro. Determine o maior momento M em relação ao eixo horizontal que pode ser aplicado na barra se a tensão máxima não exceder 60 MPa.

Passo 1

Beleza! Vamos começar esse exercício escrevendo o raio interno da seção, que pode ser visto através da figura do enunciado, então temos:

r 1 = 12   m m = 0,012   m

Agora, para o raio externo da seção, que será dado pelo raio interno mais o diâmetro da seção, teremos:

r 2 = r 1 + d = 12 + 32 → r 2 = 44   m m = 0,044   m

Agora vamos escrever o raio médio da seção, que será dado por:

r - = 1 2 r 1 + r 2 = 1 2 12 + 44 → r - = 28   m m = 0,02 8   m

Agora vamos calcular a área da seção, então temos:

A = π d 2 4 = π 0,032 2 4 → A = 804,248 . 10 - 6   m 2

Agora, para encontrar a localização do raio da superfície neutra da seção, vamos recorrer a fórmula para o círculo apresentada na figura 4.61 dessa seção, onde temos:

R = 1 2 r - + r - 2 - c 2

Em que c é o raio da seção. Então substituindo os valores conhecidos nessa equação, temos:

R = 1 2 0,028 + 0,02 8 2 - 0,016 2 → R = 25,489 . 10 - 3   m

Passo 2

Agora podemos encontrar a excentricidade e da seção, que é a distância entre a linha neutra e o centroide da seção, através de:

e = r - - R

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

e = 0,02 8 - 25,489 . 10 - 3 → e = 2,5109 . 10 - 3   m

Passo 3

Agora, para encontrar o maior momento M em relação ao eixo horizontal que pode ser aplicado na barra , vamos utilizar a equação 4.71 vista nessa seção, dada por:

σ = M r - R A e r

Isolando o momento dessa equação, chegamos em:

M = σ A e r r - R

Vamos calcular o momento para dois pontos da seção, a extremidade inferior, em r = r 1 , que chamaremos de ponto A, e em r = r 2 que chamaremos de ponto B. Começando pelo ponto A, teremos:

M A = σ A e r A r A - R = 60.10 6 804,248.10 - 6 2,5109.10 - 3 0,012 0,012 - 25,489.10 - 3

M A = - 107,79   N . m

Agora, repetindo o cálculo anterior, só que para o ponto B, teremos:

M B = σ A e r B r B - R = 60.10 6 804,248.10 - 6 2,5109.10 - 3 0,044 0,044 - 25,489.10 - 3

M B = 288   N . m

Então, o máximo valor admissível deve ser o menor valor (em módulo) dos dois momentos encontrados, dessa forma, teremos:

M m a x = M A → M m a x = 107,79   N . m

Resposta

M m a x = 107,79   N . m

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