Enunciado

(a) Usando funções de singularidade, escreva as equações para a força cortante e o momento fletor para a viga ABC sob o carregamento mostrado. (b) Use a equação obtida para M para determinar o momento fletor imediatamente à direita do ponto B.

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre para a viga ABC, transferindo as forças P aplicadas para ela e os momentos resultantes. Dessa forma, o DCL se torna:

Com o DCL acima, podemos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto C e com isso encontrar a reação no ponto A. Então teremos:

+ ↺ ∑ M C = 0

P 2 a - R A 2 a - P a + P a - P a = 0

Dividindo a expressão acima toda por a e isolando R A , chegamos em:

2 P - 2 R A - P + P - P = 0 → P = 2 R A → R A = P 2

Beleza! A partir do DCL que desenhamos, tomando a origem como o ponto A, a equação da força cortante pode ser escrita como:

V = R A - P - P < x - a > 0

E, substituindo a expressão encontrada para R A , chegamos em:

V = P 2 - P - P < x - a > 0 → V = - P 2 - P < x - a > 0

Passo 2

Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:

d M d x = V

Isolando as variáveis dessa equação, temos:

d M = V d x

Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:

∫ d M = ∫ V d x

Agora, substituindo a expressão encontrada para V no passo 1, a equação acima se torna:

M = ∫ - P 2 - P < x - a > 0 d x

Resolvendo a integral, teremos:

M = - P x 2 - P < x - a > 1 + C

Em que C é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos dois momentos localizados aplicados a viga ABC, que são decorrentes do braço de alavanca entre o ponto de aplicação das forças P e o ponto para onde transferimos as forças para a viga ABC. Então, do DCL, temos que:

C = P a + P a < x - a > 0

Pois temos o momento em A, ou seja, em x = 0 e o momento em B, em x = a . Dessa forma a equação para o momento será:

M = - P x 2 - P < x - a > 1 + P a + P a < x - a > 0

Passo 3

Agora para encontrar o momento no ponto B pedido na letra (b), basta utilizar a equação que encontramos para o momento no passo 2 e calcular em x = a , então a equação para o momento se torna:

M = - P x 2 - P < x - a > 1 + P a + P a < x - a > 0

M = - P a 2 - P < a - a > 1 + P a + P a < a - a > 0

M = - P a 2 - P 0 + P a + P a 1 → M = - P a 2 + 2 P a

M = 3 P a 2

Resposta

a : V = - P 2 - P < x - a > 0

a :   M = - P x 2 - P < x - a > 1 + P a + P a < x - a > 0

b :   M = 3 P a 2

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