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Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige - Capítulo 6.4 - Ex. 74

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A barra esbelta uniforme de massa m e comprimento l é liberada a partir do repouso na posição vertical e gira sobre sua extremidade plana em torno da quina em O . (a) Se a barra desliza quando θ = 30 ° , determine o coeficiente de atrito estático μ s entre a barra e a quina. (b) Se a extremidade da barra posui um entalhe de modo a não poder deslizar, determine o ângulo θ no qual o contato entre a barra e a quina termina.

Passo 1

Vamos começar definindo uma direção normal e uma tangencial, e representando as forças que atuam sobre a barra:

Agora podemos aplicar a segunda lei de Newton em cada direção para encontrar essas forças:

∑ F n = m r - ω 2

m g cos ⁡ θ - N = m l 2 ω 2

N = m g cos ⁡ θ - l 2 ω 2

E na direção tangencial:

∑ F t = m a - t

∑ F t = m g sen ⁡ θ - F = m r - α

m g sen ⁡ θ - F = m l 2 α

F = m g sen ⁡ θ - l 2 α

Passo 2

(a) Se a barra desliza quando θ = 30 ° , podemos afirmar que, nesse ponto:

F = μ s N

Portanto:

μ s = F N = m g sen ⁡ 30 ° - l 2 α m g cos ⁡ 30 ° - l 2 ω 2 = g sen ⁡ 30 ° - l 2 α g cos ⁡ 30 ° - l 2 ω 2

E então precisamos calcular α e ω para podermos encontrar μ s .

Vamos começar calculando α :

∑ M O = I O α

A única força que produz momento em relação ao ponto O é a componente perpendicular do peso:

m g l 2 sen ⁡ θ = 1 3 m l 2 α

α = 3 g 2 l sen ⁡ θ

Passo 3

E agora que temos α ( θ ) , podemos encontrar ω ( θ ) através da seguinte relação:

α = d ω d t = d ω d θ d θ d t = ω d ω d θ

α   d θ = ω   d ω

Vamos substituir α ( θ ) e integrar:

∫ 0 θ 3 g 2 l sen ⁡ θ   d θ = ∫ 0 ω ω   d ω

3 g 2 l ( 1 - cos ⁡ θ ) = ω 2 2

ω 2 = 3 g l 1 - cos ⁡ θ

Agora vamos substituir tudo isso na expressão que escrevemos lá em cima com θ = 30 ° :

μ s = g sen ⁡ 30 ° - l 2 3 g 2 l sen ⁡ 30 ° g cos ⁡ 30 ° - l 2 3 g l 1 - cos ⁡ 30 °

μ s = sen ⁡ 30 ° - 3 4 sen ⁡ 30 ° cos ⁡ 30 ° - 3 2 1 - cos ⁡ 30 ° = 0,125 0,6651 = 0,188

Passo 4

(b) No ponto em que o contato entre a barra e a quina termina temos N = 0 . Vamos voltar para a expressão que escrevemos antes:

N = m g cos ⁡ θ - l 2 ω 2

0 = m g cos ⁡ θ - m l ω 2 2

cos ⁡ θ = l ω 2 2 g

E agora vamos substituir com a expressão que encontramos para ω 2 :

cos ⁡ θ = l 2 g 3 g l 1 - cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = 3 2 1 - cos ⁡ θ

1 + 3 2 cos ⁡ θ = 3 2

θ = 53,1 °

Resposta

(a) μ s = 0,188 .

(b) θ = 53,1 ° .

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