Enunciado

O mastro uniforme de 24   m possui uma massa de 300   k g e é articulado em sua extremidade inferior a um suporte fixo junto a O . Se o guincho C desenvolve um torque de partido de 1300   N ∙ m , calcule a força total suportada pelo pino em O quando o matro começa a ser erguido de seu apoio em B . Encontre também a aceleração angular correspondente α do mastro. O cabo em A está horizontal e as massas das polias e do cabo são desprezíveis.

Passo 1

Primeiro vamos calcular a força T realizada no ponto A quando aplicamos um torque M = 1300   N ∙ m no guincho.

Já que o raio do guincho é:

r = 1 , 200 2 = 0,600   m

A força associada ao momento seria dada pela seguinte fórmula:

T = M r

Mas como o cabo está conectado ao ponto A por uma polia móvel, temos que colocar um fator de 2 nessa equação:

T = 2 M r = 2 1300 ( 0,600 ) = 4333   N

Passo 2

Agora queremos encontrar a aceleração angular do mastro:

∑ M O = I O α

O momento de inércia em relação ao ponto O é:

I O = 1 3 m L 2

I O = 1 3 300 24 2 = 57   600   k g ∙ m 2

E as únicas forças que produzem momento sobre esse corpo são as componentes perpendiculares do peso P e da tração T (que favorecem a rotação em direções contrárias):

∑ M O = T 16 sen ⁡ 30 ° - P 24 2 cos ⁡ 30 °

∑ M O = 4333 16 sen ⁡ 30 ° - 300 9,81 12 cos ⁡ 30 ° = 4082,1   N ∙ m

E então:

α = ∑ M O I O = 4082,1 57600 = 0,0709   r a d / s 2

Passo 3

Agora podemos usar a segunda lei de Newton nas direções tangencial e normal para encontrar a força em O t .

Começando pela direção tangencial:

∑ F t = m a t

A aceleração tangencial do centro de massa é a t = r c m α , então:

∑ F t = m r c m α

E agora vamos encontrar as forças que agem nessa direção:

∑ F t = O t + T cos ⁡ 60 ° - m g cos ⁡ 30 °

∑ F t = O t + 4333 cos ⁡ 60 ° - 300 9,81 cos ⁡ 30 ° = O t - 382,2

E então:

O t - 382,2 = m r c m α = ( 300 ) ( 12 ) ( 0,0709 )

O t = 255,24 + 382,2 = 637,4   N

Passo 4

Agora vamos analisar a direção normal:

∑ F n = 0

As forças que agem nessa direção são as seguintes:

∑ F n = - T cos ⁡ 30 ° - P cos ⁡ 60 ° + O n = 0

O n = 4333 cos ⁡ 30 ° + 300 9,81 cos ⁡ 60 °

O n = 5224   N

E então podemos calcular o módulo da força total exercida em O :

O = O n 2 + O t 2

O = 5224 2 + 637,4 2 = 5263   N

Resposta

A aceleração angular é α = 0,0709   r a d / s 2 e a força total suportada pelo pino é O = 5263   N .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

25. O motor gira a engrenagem A de maneira que sua velocidade angular aumenta uniformemente de zero para 3000 rev/min após o eixo girar 200 revolucoes. Determine a velocidade angular da engrenagem D q
6. O mecanismo acima para acionar a janela de um carro é mostrado na figura. Aqui a maçaneta faz girar a pequena engrenagem C, que gira a engrenagem de dentes retos S, dessa maneira girando a alavanca
11. O abridor de latas opera de tal maneira que a lata é acionada pela roda motriz D, Se o eixo do induzido S no motor gira com uma velocidade angular constante de 40 rad/s, determine a velocidade ang
10. Durante uma rajada de vento, as pás do moinho de vento são submetidas a uma aceleração angular a = 0,2 θr a d / s 2 , onde θ é dado em radianos. Se inicialmente as pás têm uma velocidade angular d
5. A operação da engrenagem de marcha à ré em uma transmissão automotiva é mostrada. Se o motor gira o eixo A em ω A = 40 r a d s , determine a velocidade angular do eixo de transmissão, ω B . O raio