Enunciado

A barra esbelta uniforme de massa m e comprimento l é livremente articulada em torno de um eixo horizontal por meio de sua extremidade O e recebe uma velocidade angular inicial ω 0 quando cruza a posição vertical onde θ = 0 ° . Se a barra oscila através de um ângulo máximo β < 90 ° , desenvolva uma expressão na forma integral para o tempo t desde a liberação em θ = 0 ° até θ = β ser atingido. (Expresse ω 0 em termos de β ).

Passo 1

Uma barra gira ao redor de um pino em uma de suas extremidades. A barra vai de uma posição vertical até um certo ângulo β .

Queremos descobrir quanto tempo t f passou da posição θ = 0 até θ = β

Dados da questão (tudo conhecido!):

  • Massa:   m .
  • Comprimento: l .
  • Ângulo inicial: 0 ° .
  • Ângulo final: β .
  • Velocidade inicial: ω 0 .
  • Velocidade final: 0 (em β !)

Vamos analisar a dinâmica do problema e aí procuramos isolar t de algum jeito. A questão já nos deu a dica que a solução vai ser uma expressão para t na forma integral.

Passo 2

A barra está girando ao redor do pino em sentido horário. Defina eixos com direção positiva. A única força no problema é o próprio peso P = m g da barra, que age no centro de massa, no meio dela.

A componente de P que importa para a rotação é a que está na direção x : P x

P x = P sin ⁡ θ

Aplicando a segunda Lei de Newton na forma angular para o ponto O , temos

∑ M 0 = I 0 α

- L 2 P x = I 0 d 2 θ d t 2

Beleza, temos uma expressão envolvendo θ e t . Só precisamos dar uma ajeitada nela para isolar o t .

Esse I 0 na equação é o momento de inércia em relação ao ponto O !

I 0 = m L 2 3

Voltando a equação da dinâmica, substitua I 0 e P x .

- L 2 m g sin ⁡ θ = m L 2 3 d 2 θ d t 2

Vamos simplificar e escrever cada derivada no tempo como um ponto.

θ ¨ = - 3 2 g L sin ⁡ θ

Beleza, temos uma expressão que relaciona a aceleração com a posição. O que acontece se integrarmos em relação à posição θ ?

Passo 3

Agora vem a sacada principal. Vamos usar a regra da cadeira para avaliar a derivada da velocidade em relação à posição θ .

d θ ˙ ( t θ ) d θ = d θ ˙ d t ⋅ d t d θ

Como a função θ ( t ) nessa questão é inversível (só há um valor de θ para cada t !), podemos dizer que

d t d θ = 1 d θ / d t

E aí achamos algo bem interessante ao substituir:

d θ ˙ ( t θ ) d θ = d θ ˙ / d t d θ / d t

d θ ˙ d θ = θ ¨ θ ˙

Agora podemos mexer um pouco os diferenciais para termos integrais que conseguimos calcular

θ ˙ d θ ˙ = θ ¨ d θ

Integre da posição inicial ( θ = 0 ) até uma posição genérica ( θ ) . A velocidade no início é ω 0 , e na posição genérica ela vai ser algum valor ω .

∫ ω 0 ω θ ˙ d θ ˙ = ∫ 0 θ θ ¨ d θ

ω 2 2 - ω 0 2 2 = - 3 2 g L ∫ 0 θ sin ⁡ θ ( t ) d θ

ω 2 = ω 0 - 3 g L ( - cos ⁡ θ + 1 )

O ω 0 é conhecido, mas a questão pede que expressemos ele em termos de β . Podemos usar essa equação para isso. Aplique a informação que temos: quando θ = β , a velocidade é ω = 0

0 = ω 0 - 3 g L ( - cos ⁡ β + 1 )

ω 0 = 3 g L ( 1 - cos ⁡ β )

Ótimo, agora vamos colocar essa expressão de ω 0 de volta na equação que achamos!

ω 2 = 3 g L ( 1 - cos ⁡ β ) - 3 g L ( 1 - cos ⁡ θ )

ω 2 = 3 g L ( cos ⁡ θ - cos ⁡ β )

ω = 3 g L cos ⁡ θ - cos ⁡ β

Mas e daí? Achamos uma expressão que relaciona a velocidade angular com o ângulo. Bem, como a velocidade é a derivada do ângulo no tempo, dá pra gente reverter isso aí e achar o t !

Passo 4

Definição da velocidade:

ω = d θ d t

Isole o d t !

d t = 1 ω d θ

Agora é só substituir e integrar! Integre do instante inicial ( t = 0 ) até o final ( t f ) . O ângulo vai ser 0 no início e β no final

∫ 0 t f d t = ∫ 0 β 1 3 g L cos ⁡ θ - cos ⁡ β d θ

t f = l 3 g ∫ 0 β 1 cos ⁡ θ - cos ⁡ β d θ

Resposta

Tempo de θ = 0 até θ = β .

t f = l 3 g ∫ 0 β 1 cos ⁡ θ - cos ⁡ β d θ

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