Enunciado

A peça anexa B recebe um movimento horizontal x B = b cos ⁡ ω t . Desenvolva a equação do movimento para a massa m e determine a frequência crítica ω c para a qual as oscilações da massa tornam-se excessivamente grandes. Qual o fator de amortecimento ξ do sistema?

Passo 1

Dados da questão:

  • Massa: m .
  • Rigidez da mola: k
  • Coeficientes de amortecimentos: c 1 e c 2 .
  • Movimento da extremidade direita do amortecedor 2 : x B = b cos ⁡ ω t .

Queremos uma equação que defina o movimento da massa com todos esses elementos interagindo. Vai ser bem tranquilo! Primeiro passo vai ser identificar quem são as forças atuando na massa, e aí vamos identificar cada força.

Depois a gente vai procurar a frequência que faz as oscilações serem extremamente grandes e o fator de amortecimento.

Passo 2

Escolha uma posição de referência e aí tome um deslocamento x qualquer. A partir disso a gente desenha o diagrama de corpo livre.

Beleza! Quando a massa vai para a direita, a mola e os dois amortecedores vão gerar forças para esquerda, porque eles resistem ao movimento.

Agora a gente escreve a equação da dinâmica para a massa m :

∑ F e x t = m   a

A aceleração a   vai ser a segunda derivada do deslocamento no tempo: a = x ¨ . Coloque as forças externas na equação. Atenção ao sinal! Elas estão em sentido oposto ao deslocamento x .

- F k - F c 1 - F c 2 = m x ¨

m x ¨ + F k + F c 1 + F c 2 = 0

Vamos ver quem é cada uma dessas forças, e ir conferindo se a direção das forças no diagrama de corpo livre está certa!

Passo 3

Vejamos a mola com rigidez k . A mola resiste à deflexão dela! Isso significa que se uma extremidade da mola se afastar da outra, a mola vai puxar ela de volta pro comprimento natural. Essa resistência é a força que a mola gera, linear à variação de comprimento!

A extremidade esquerda da mola está fixa. A massa vai para direita um comprimento x . A extremidade direita dessa mola vai se mover x para direita!

F k = k x

Como a mola é estendida para direita um comprimento x , a força F k que resiste isso vai para esquerda! Show, isso confere com o Passo 2 .

Passo 4

Para a força devida ao amortecedor, ela será linear à velocidade do pistão dentro dele. Vejamos o amortecedor com coeficiente c 1 .

A velocidade da massa é x ˙ , e se o corpo está indo para direita, então x ˙ também aponta para direita! Como a extremidade esquerda desse amortecedor está fixa, o pistão vai ter a mesma velocidade   x ˙ !

F c 1 = c 1 x ˙

A velocidade x ˙ é para direita, então a força F c 1 que resiste isso tem que ir para esquerda! Beleza, de novo correto com o Passo 2 !

Passo 5

Aqui vem a parte mais importante! O amortecedor de coeficiente c 2 vai ter seu pistão movido para direita a uma velocidade x ˙ : a velocidade que a massa está indo para direita. Mas outra coisa vai acontecer também. A base do amortecedor, na direita, vai se mover também para direita! Esse movimento é x B , então ele ocorre a uma velocidade x ˙ B .

Lembre-se que falamos que o amortecedor gera uma força para resistir a variação de velocidade do pistão. Então não interessa se o amortecedor com ou todo se move, o que importa é o aumento de velocidade do pistão dele.

A velocidade relativa do pistão vai aumentar

δ ˙ = x ˙ - x ˙ B

Isso é o quanto o pistão aumenta em velocidade para direita! Então o amortecedor resiste com uma força para esquerda! Essa força vai ser

F c 2 = c 2 ( x ˙ - x ˙ B )

Ótimo! Queríamos uma força para esquerda mesmo (Passo 2 ). Fique atento que se você pensar na outra direção, muda tudo!

Agora é só botar de volta na equação principal e mexer umas coisinhas.

Passo 6

m x ¨ + F k + F c 1 + F c 2 = 0

m x ¨ + c 1 x ˙ + c 2 ( x ˙ - x ˙ B ) + k 1 x = 0

Vamos colocar a expressão x B = b cos ⁡ ω t , e além disso vamos agrupar os termos em relação a x e suas derivadas.

m x ¨ + c 1 + c 2 x ˙ + k x - c 2 d d t ( b cos ⁡ ω t ) = 0

m x ¨ + c 1 + c 2 x ˙ + k x = - c 2 b ω sin ⁡ ω t

Show, achamos a equação!

Passo 7

E qual é a frequência crítica ω c que ω deve assumir para causar grandes oscilações? Essa frequência é a que gera ressonância!

Ressonância acontece quando a frequência ω do forçamento se aproxima da frequência natural ω n do sistema.

Resta descobrirmos quem é ω n para esse sistema então. Isso é bem fácil!

Apesar da equação do Passo 6 ser ligeiramente diferente da equação que você está acostumado, você pode imaginar que na verdade o que temos ali é um coeficiente e amortecimento equivalente c e q = c 1 + c 2 e um forçamento harmônico F 0 sin ⁡ ω t em que a amplitude é F O = - c 2 b ω .

Relembre a equação habitual

x ¨ + 2 ξ ω n x ˙ + ω n 2 x = F 0 m sin ⁡ ω t

Para fazemos nossa equação ficar nessa forma, só precisamos dividir por m !

x ¨ + c 1 + c 2 m x ˙ + k m x = - c 2 b ω m sin ⁡ ω t

Comparando,

ω n 2 = k m

ω c = ω n = k m

Passo 8

Quase lá! E qual é o fator de amortecimento ξ ? Compare as equações no último Passo!

2 ξ ω n = c 1 + c 2 m

ξ = c 1 + c 2 2 ω n m

Substitua a expressão do ω n :

ξ = c 1 + c 2 2 k m

Resposta

Equação do movimento:

m x ¨ + c 1 + c 2 x ˙ + k x = - c 2 b ω sin ⁡ ω t

Frequência de ressonância:

ω C = k m

Fator de amortecimento:

ξ = c 1 + c 2 2 k m

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