Enunciado

Que velocidade angular inicial no sentido horário ω a barra esbelta e uniforme de 75   kg deve ter quando passa sobre a posição vertical θ = 0 para que consiga atingir a posição horizontal ( θ = 90 ° ) ? A mola tem uma rigidez 45   N/m e está sem deformação quando θ = 0 .

Passo 1

Uma barra está presa a um pino em uma de suas extremidades e presa a uma mola na outra.

Quando a barra está na vertical, a mola está sem deformação.

Quando a barra começa a girar ao redor do pino, a mola é deformada, então ela resiste o movimento da barra!

Queremos saber qual é a velocidade inicial ω que a barra deve ter quando está na vertical para ser capaz de girar o suficiente até ficar horizontal.

Dados da questão (tem valores errados no enunciado!):

  • Massa da barra:   m = 7,5   kg .
  • Comprimento da barra: L = 1,2   m .
  • Altura da base da mola: H = 1,8   m .
  • Rigidez da mola: k = 200   N/m
  • Aceleração da gravidade: g = 9,81   m/s 2 . (Tabelado)

Essa questão é tranquila! Como a força peso e a força elástica são conservativas, podemos usar a conservação da energia para compararmos duas situações: quando a barra está vertical e quando a barra está horizontal!

Passo 2

Temos três energias na jogada.

Energia potencial elástica, com deflexão x :

E e = k x 2 2

Energia potencial gravitacional, para uma altura h do centro de massa em relação à horizontal:

E g = m g h

Energia cinética da rotação, com velocidade ω ao redor do pino em O :

E r = I 0 ω 2 2

Quando a barra está na vertical:

  • A mola está sem deformação! Então a deflexão aqui é x 1 = 0 . Importante: o comprimento relaxado da mola é então l = H - L = 0,6   m .
  • A altura do centro de massa vai ser h 1 = 0,6   m , na metade da barra
  • A velocidade angular inicial vai ser a incógnita ω que queremos achar!

Quando a barra está na horizontal:

  • A mola vai estar esticada, fechando um triângulo! A deflexão vai ser a hipotenusa menos o comprimento relaxado l . Então x 2 = H 2 - L 2 - l = 0,7416   m .
  • A altura vai ser h 2 = 0 (estamos usando a horizontal como referência!)
  • A velocidade angular vai ser ω 2 = 0 ! Colocando desse jeito, vamos descobrir a velocidade inicial mínima ω para a barra poder girar da vertical até horizontal.

Show! Agora vamos usar a conservação da energia.

Passo 3

Conservação da energia:

E e 1 + E g 1 + E r 1 = E e 2 + E g 2 + E r 2

k x 1 2 2 + m g h 1 + I 0 ω 2 2 = k x 2 2 2 + m g h 2 + I 0 ω 2 2 2

Substitua tudo que descobrimos no último passo, e lembre-se que o momento de inércia para a barra segundo um eixo na extremidade é I 0 = m L 2 / 3 .

0 + 7,5   m ⋅ 9,81   m/s 2 ⋅ 0,6   m + 1 2 ⋅ 7,5   kg ⋅ 1,2   m 2 3 ω 2 = 200   N/m ⋅ 0,7416   m 2 2 + 0 + 0

1,8   kg  m 2 ⋅ ω 2 = 10,8581   J

ω = 2,45   rad/s

Resposta

Velocidade angular:   ω = 2,45   rad/s .

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