Enunciado

A barra O A gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante de θ ˙ = 6   r a d / s . Através de meios mecânicos, o anel B move-se ao longo da barra com uma velocidade escalar de r ˙ = 4 t 2 m / s , onde t é dado em segundos. Se r = 0 quando t = 0 , determine as intensidades da velocidade e aceleração do anel quando t = 0,75   s .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos pede as intensidades da velocidade e aceleração do anel quando t = 0,75   s .

Do enunciado, temos que quando r = 0 ,   t = 0 , logo:

d r d t = r ˙ = 4 t 2

d r = 4 t 2 d t

Integrando, temos:

∫ 0 r d r = ∫ 0 t 4 t 2 d t

r 0 r = 4 t 2 + 1 2 + 1 0 t

r - 0 = 4 3 t 3 - 4 3 0 3

r = 4 3 t 3

Passo 2

Quando t = 0,75   s , temos:

r = 4 3 0,75 3

r = 0,5625

r ˙ = 4 0,75 2

E:

r ¨ = d r ˙ d t

r ¨ = d d t 4 t 2

r ¨ = 2 4 t

r ¨ = 8 t

r ¨ = 8 0,75

r ¨ = 6   m / s 2

Queremos:

v = v r 2 + v θ 2

E:

a = a r 2 + a θ 2

Passo 3

Vamos às analises:

Como θ ˙ = 6   r a d / s é constante, sabemos que a derivada de uma constante é zero, portanto:

θ ¨ = d θ ˙ d t

θ ¨ = 0

Passo 4

Sabemos que:

v r = r ˙ = 2,25   m / s

v θ = r θ ˙

v θ = ( 0,5 625 ) ( 6 )

v θ = 3,375   m / s

A magnitude da velocidade será:

v = 2,25 2 + 3,375 2

v = 4,0 6   m / s

Passo 5

Para a aceleração, teremos que a componente a r é:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a r = 6 - 0,5 625 6 2

a r = - 14,25   m / s 2  

A componente a θ é dada por:

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

a θ = 0,5 625 0 + 2 ( 2,25 ) ( 6 )

a θ = 27   m / s 2

Logo:

a = - 14,25 2 + 27 2

a = 30,5   m / s 2

Resposta

v = 4,0 6   m / s

a = 30,5   m / s 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula se desloca em uma trajetória circular de 0,3m de raio. Calcule o módulo a da aceleração da partícula(a) se a sua velocidade é constante em 0,6m / s e(b) se a sua velocidade é 0,6m / s ,
Uma sonda espacial deve ser colocada em uma órbita circular de 5600 milhas de raio em torno do planeta Vênus em um plano especificado. Quando a sonda atinge A, o ponto de sua trajetória original mais
Para a sonda espacial do Problema 12.106, sabe-se que r A = 9,3 x10³ mi e que a velocidade da sonda é reduzida para 20.000 ft/s, conforme ela passa por A. Determine (a) a distância do centro de Vênus
A espaçonave Clementine descreveu uma órbita elíptica de altitude mínima hA = 400 km e altitude máxima de hB = 2.940 km acima da superfície da lua. Sabendo que o raio da lua é 1737 km e a massa da lua
Uma sonda espacial em uma órbita baixa da Terra é inserida em uma órbita de transferência elíptica para o planeta Vênus. Sabendo que a massa do sol é 332,8 x 10³ vezes a massa da terra e assumindo que