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A espaçonave Clementine descreveu uma órbita elíptica de altitude mínima hA = 400 km e altitude máxima de hB = 2.940 km acima da superfície da lua. Sabendo que o raio da lua é 1737 km e a massa da lua é 0,01230 vezes a massa da terra, determine o tempo periódico da nave espacial.

Passo 1

Para Terra:

R = 6370 k m = 6.370 × 10 6 m

G M = g R 2 = ( 9.81 ) 6.370 × 10 6 2 = 398.06 × 10 12 m 3 / s 2

Para Lua:

G M = ( 0.01230 ) 398.06 × 10 12 = 4.896 × 10 12 m 3 / s 2

r A = 1737 + 400 = 2137 k m = 2.137 × 10 6 m

r B = 1737 + 2940 = 4677 k m = 4.677 × 10 6 m

Usando Eq 12.39:

1 r A = G M h 2 + C c o s ⁡ θ A   a n d   1 r B = G M h 2 + C c o s ⁡ θ B

Mas θ B = θ A + 180 ∘ ,   d e   m o d o   a   c o s ⁡ θ A = - c o s ⁡ θ B

Adicionando: 1 r A + 1 r B = r A + r B r A r B = 2 G M h A B 2

h A B = 2 G M r A r B r A + r B = ( 2 ) 4.896 × 10 12 2.137 × 10 6 4.677 × 10 6 6.804 × 10 6

= 3.78856 × 10 9 m 2 / s

a = 1 2 r A + r B = 3.402 × 10 6 m   b = r A r B = 3.16145 × 10 6 m  

Passo 2

Tempo periódico:

τ = 2 π a b h A B = 2 π 3.402 × 10 6 3.16145 × 10 6 3.78856 × 10 9 = 17.837 × 10 3 s

τ = 4.95 h

Resposta

τ = 4.95 h

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