Enunciado

Uma barra maciça de latão de 30 m m de diâmetro está sujeita a um torque que produz uma tensão de cisalhamento máxima de 93   M p a na barra. Usando o diagrama τ - γ mostrado para o latão usado, determinar:

  1. A intensidade do torque aplicado à barra
  2. A máxima tensão de cisalhamento na barra.

Passo 1

Pelos dados que o enunciado nos dá temos que:

τ = 93   M P a

c = 1 2 D = 3 0 2 = 15 m m = 0,0 15   m

Sabemos que a fórmula da nossa deformação especifica cisalhante é dada por:

γ = ρ c γ m a x

E podemos definir uma razão Z pela seguinte fórmula:

Z = γ γ m a x = ρ c

Mas poque marcamos isso? Porque sabemos que a nossa fórmula para determinação do torque, quando temos uma curva indefinida, é dada pela seguinte fórmula:

T = 2 π ∫ 0 c ρ 2 τ   d ρ

Se colocarmos a nossa razão Z na equação, teremos a seguinte relação:

ρ = Z c

Substituindo na equação teremos que:

T = 2 π ∫ 0 c ( Z c ) 2 τ   d ρ

Que na equação passará a ser:

T = 2 π ∫ 0 c Z 2 c 2 τ   d ρ

T = 2 π c 2 ∫ 0 c Z 2 τ   d ρ

Agora a nossa variável passa a ser Z, sendo assim teremos que mudar a variável, e basta derivarmos a seguinte equação.

ρ = Z c

d ρ = c d Z

Substituindo teremos que:

T = 2 π c 2 ∫ 0 c Z 2 τ   d ρ

T = 2 π c 2 ∫ 0 c Z 2 τ   ( c d Z )

Lembrando que ρ é a variação do raio, e que C é o raio máximo, então sabemos que a razão

Z = ρ c

Varia entre 0 e 1, sendo assim podemos mudar a variação da integral que para ρ variava de 0 até C, sendo assim teremos que:

T = 2 π c 3 ∫ 0 1 Z 2 τ   d Z

E podemos definir que:

I = ∫ 0 1 Z 2 τ   d Z

Que simplificando a equação teremos que:

T = 2 π c 3 I

Porém, vou te ensinar um macete, resolver a nossa integral I seria muito complicado, além do mais, não conhecemos a nossa curva, e não sabemos a sua fórmula, por isso podemos macetear a nossa integral usando um conceito de solução numérica, ou seja, vamos usar uma solução aproximada para o nosso problema, e com isso usaremos um conceito de fórmula de Simpson para isso. Não vale apena entendermos todo o processo para chegar nela, até porque isso seria mais uma questão inteira a ser resolvida, mas como um passe de magica podemos aceitar que a nossa integral pode ser simplificada de seguinte maneira.

I = ∫ 0 1 Z 2 τ   d Z ≅ ∆ Z 3 ∑ W Z 2 τ

Sabemos que ∆ Z é de quanto em quanto queremos que o nosso fator Z seja analisado, sabemos que Z varia de 0 até 1, então para facilitarmos, vamos definir que a variação vai ser feita pelo seguinte valor:

∆ Z = 0,2 0

Outra coisa que precisamos saber antes de continuar é que o W são fatores de multiplicação que valem o seguinte:

W = 1   v a l o r e s   e x t r e m o s

W = 4   v a l o r e s   e m   p o s i ç õ e s   i m p a r e s

W = 2   v a l o r e s   e m   p o s i ç õ e s   p a r e s

Sendo assim podemos montar uma tabela que será dada por:

Vale lembrar que a nossa fórmula de Simpson é dada pela seguinte equação:

I ≅ ∆ Z 3 ∑ W Z 2 τ

E o que acabamos de determinar foi:

∑ W Z 2 τ = 297,8

Substituindo tudo teremos que:

I ≅ 0,20 3 297,8 = 19,85   M P a = 19,85 N m m 2

E depois disso tudo conseguimos enfim determinar o nosso item A), que é exatamente o valor do nosso torque:

T = 2 π c 3 I = 2 π . ( 15 [ m m ] ) 3 . 19,85 N m m 2 = 420934   N m m = 0,421   k N m = 421   N m

Passo 2

O item B) é bem simples, como o ângulo de deformação, nem o comprimento da barra foram definidos, então podemos entender que a tensão máxima que age na nossa peça é a máxima tensão ao qual a peça foi submetida, sendo assim a tensão cisalhante máxima da peça é dada por:

τ = 93   M P a

Resposta

T = 421   N m

τ = 93   M P a

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