Enunciado

Para a barra do Prob. 4.104, determinar: (a) o raio de curvatura da barra, quando a tensão máxima é 310 MPa; (b) o correspondente valor do momento fletor. (Veja a sugestão dada no prob. 4.102).

Passo 1

Inicialmente do enunciado nós temos

σ m = 310   M P a = 310 × 10 6 P a

Com isso podemos verificar o gráfico e encontrar o valor de ε m

Observa que tracei uma reta em σ = 310   M P a , e no gráfico encontramos um valor muuuito próximo de 0,008 para ε . Então

ε m = 0,00 8

Para o c teremos

c = h 2

Como a altura de nossa barra é de 30mm

c = 3 0 2 = 15 m m = 0,015 m

O valor de b nos foi passado que éa espessura da barra

b = 2 0 m m = 0,02 m

Com isso temos então, para encontrarmos o raio de curvatura:

1 ρ = ε m c = 0,00 8 0,015 = 0 , 5333   m - 1

ρ = 1,875   m

Passo 2

O cálculo do momento fletor pode ser meio chatinho, mas uma vez que você entende o passo a passo, já era. Primeiramente temos a relação

ε = - ε m y c

Vamos chamar y c de U simplesmente por ser comum encontramos assim nos livros didáticos.

Temos então para o momento

M = - ∫ - c c y σ b   d y = 2 b ∫ 0 c y σ   d y = 2 b c 2 ∫ 0 1 U σ   d U = 2 b c 2 J

Lembre-se que fiz essa substituição final por que J nos é dado por ∫ 0 1 U σ   d U .

Passo 3

Usando a regra de Simpson, a fórmula da integral fica

J = Δ U 3 ∑ w U σ

Onde w é o carregamento. Usando Δ U = 0,25 ,   encontramos alguns valores que tabelei abaixo.

O somatório dos valores de w U σ   na tabela nos dá 1567 .

Então o calculo de J fica

J = Δ U 3 ∑ w U σ = 0,25 3 × 1567 = 103,6   M P a = 103,6 × 10 6 P a

Então pra fechar a questão e encontrarmos M

M = 2 b c 2 J = 2 0,02 0,015 2 130,6 × 10 6 = 1,175   k N . m

Resposta

a )   ρ = 1,875   m  

b )   M = 1,175   k N . m

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