Enunciado

Uma barra retangular reta e livre de tensões é flexionada formando um arco de circunferência de raio ρ por dois momentos M. após os momentos serem removidos, observa-se que o raio de curvatura da barra é ρ R . Chamando de ρ E o raio de curvatura da barra no inicio do escoamento, mostre que o raio de curvatura satisfaz a seguinte relação:

1 ρ R = 1 ρ 1 - 3 2 ρ ρ E 1 - 1 3 ρ ρ E 2

Passo 1

A fórmula pode parecer muito assustadora, mas ela só dá um medinho inicial, porque ela é bem simples de ser demonstrada, quer ver? Então me segue que é sucesso.

Primeiro, temos que lembrar duas fórmulas que vão nos ajudar nessa solução. Primeiro, ele indica no enunciado que iremos precisar do raio de curvatura no inicio do escoamento dela, que é dado pelo seguinte símbolo ρ E . Porém qual a fórmula do raio de curvatura no início do escoamento? Ai entra a primeira fórmula que temos que lembrar, que é a seguinte fórmula.

1 ρ E = M E E I

E a segunda fórmula é uma velha conhecida nossa desse capitulo, que é a fórmula que relaciona os momentos e raios de curvatura atuantes e os raios e momentos de escoamento, que é a nossa velha conhecida dada por:

M = 3 2 M E 1 - 1 3 ρ ρ E 2

E como essas duas fórmulas vão nos ajudar? Isso já vamos ver, porque antes delas, precisamos entender o que está rolando no nosso problema.

Passo 2

O nosso objetivo é determinar ρ R , certo? Ele nada mais é que o raio de curvatura residual que sobra na nossa barra, certo? Mas como podemos determinar ele como base no raio de curvatura total ( ρ ) e no raio de curvatura do escoamento ( ρ E ) ?

Pensa no seguinte, se eu pegar tudo o que a viga deformou, e retirar a parte que é elástica, sobra exatamente o que é resíduo, certo? Com os raios de curvatura é EXATAMENTE a mesma coisa, assim podemos escrever da seguinte maneira:

1 ρ R = 1 ρ - 1 ρ e l a s t i c o

perceba que esse novo termo ρ e l a s t i c o é novo pra gente, mas ele nada mais é que:

1 ρ e l a s t i c o = M E I

Substituindo teremos que:

1 ρ R = 1 ρ - M E I

E veja que temos uma fórmula que tem exatamente o nosso M , assim podemos fazer a substituição novamente:

1 ρ R = 1 ρ - 1 E I × 3 2 M E 1 - 1 3 ρ ρ E 2

Perceba que temos que:

1 ρ R = 1 ρ - M E E I × 3 2 1 - 1 3 ρ ρ E 2

E assim podemos substituir o termo M E E I , tendo a seguinte relação:

1 ρ R = 1 ρ - 1 ρ E × 3 2 1 - 1 3 ρ ρ E 2

Se colocamos 1 ρ em evidencia, temos que:

1 ρ R = 1 ρ 1 - ρ ρ E × 3 2 1 - 1 3 ρ ρ E 2

Organizando cada termo em seu devido lugar, temos que:

1 ρ R = 1 ρ 1 - 3 2 ρ ρ E 1 - 1 3 ρ ρ E 2

Resposta

1 ρ R = 1 ρ 1 - 3 2 ρ ρ E 1 - 1 3 ρ ρ E 2

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