Enunciado

Uma barra rígida é suspensa por meio de quatro arames, fixados a uma placa fina, como indicado. Os arames amarrados aos pinos B e C são de alumínio ( E = 70   G P a ) e têm diâmetro de 2   m m ; enquanto que os demais são de aço ( E = 200   G P a ) e têm diâmetro de 2,5   m m . Sabendo-se que todos os arames estão inicialmente esticados, determinar: (a) a tração adicional em cada arame quando uma carga de 2   k N é aplicada no ponto médio da barra; (b) o correspondente alongamento dos arames.

Passo 1

O problema pede a tração e a deflexão em cada arame. Ou seja, vamos ter que utilizar, tanto uma equação de forças, no caso o equilíbrio das forças na vertical e do momento, quanto a equação da deflexão.

∑ F y = 0

∑ M = 0

δ = ∑ P i ⋅ L i A i ⋅ E i

É importante notar que neste caso a deflexão dos arames B e C são iguais, assim como as dos arames A e D . Isso acontece porque a força é aplicada exatamente no meio da barra, mantendo assim uma simetria.

Além disso, por causa da simetria, a deformação de todos os arames serão exatamente iguais!

Passo 2

Vamos fazer o diagrama de corpo livre da barra.

Agora vamos aplicar as equações de equilíbrio:

∑ F y = 0

F A + F B - 2 + F C + F D = 0

F A + F B + F C + F D = 2

Passo 3

A deflexão que vamos utilizar, neste caso, será dos fios, da seguinte forma:

δ A = F A ⋅ L A A A ⋅ E A

δ B = F B ⋅ L B A B ⋅ E B

δ C = F C ⋅ L C A C ⋅ E C

δ D = F D ⋅ L D A D ⋅ E D

Lembrando que:

δ A = δ B = δ C = δ D

Vamos substituir os comprimentos, áreas e coeficientes de elasticidade, onde:

  • L A = L D = 125 + 150 = 275 m m
  • L B = L C = 150   m m
  • E B = E C = 70   G P a
  • E A = E D = 200   G P a

Para as áreas de A e D

A A = A D = π ⋅ D 2 4

A A = A D = π ⋅ 2,5 ² 4

A A = A D = π ⋅ 6,25 4

A A = A D = 4,909   m m ²

Para B e C

A B = A C = π ⋅ D 2 4

A B = A C = π ⋅ 2 ² 4

A B = A C = π ⋅ 4 4

A B = A C = 3,141   m m ²

Assim, para A

δ A = F A ⋅ 275 4,909 ⋅ 200

δ A = 0,28 ⋅ F A

Para B

δ B = F B ⋅ 150 3,141 ⋅ 70

δ B = 0,682 ⋅ F B

Para C

δ C = F C ⋅ 150 3,141 ⋅ 70

δ C = 0,682 ⋅ F C

Para D

δ D = F D ⋅ 275 4,909 ⋅ 200

δ D = 0,28 ⋅ F D

Resumindo

δ A = 0,28 ⋅ F A

δ B = 0,682 ⋅ F B

δ C = 0,682 ⋅ F C

δ D = 0,28 ⋅ F D

Lembrando que:

δ A = δ B = δ C = δ D

Passo 4

Olha só! Se as deformações δ A = δ D e δ C = δ B então podemos observar que F A = F D e F B = F C . Isso já até poderia ter sido percebido antes por causa da geometria.

Então podemos substituir na nossa equação das forças

F A + F B + F C + F D = 2

2 ⋅ F A + 2 ⋅ F C = 2

Ou, simplificando

F A + F C = 1

Além disso, sabemos também que

δ C = δ A

Logo

δ A = 0,28 ⋅ F A

δ C = 0,682 ⋅ F C

0,28 ⋅ F A = 0,682 ⋅ F C

Assim

F A = 0,682 0,28 ⋅ F C

F A = 2,44 ⋅ F C

Substituindo na equação anterior

F A + F C = 1

F A = 2,44 ⋅ F C

2,44 ⋅ F C + F C = 1

3,44 ⋅ F C = 1

F C = 1 3,44

F C = 0,29   k N

Como

F A + F C = 1

F A = 1 - 0,29

F A = 0,71   k N

Assim:

F A = 0,71   k N

F D = 0,71   k N

F B = 0,29   k N

F C = 0,29   k N

Passo 5

Para saber a deflexão de cada fio precisamos achar de um único, pois são todos iguais, portanto:

δ A = 0,28 ⋅ F A

δ A = 0,28 ⋅ 0,71  

δ A = 0,199   m m

Resposta

a)

F A = 0,71   k N

F D = 0,71   k N

F B = 0,29   k N

F C = 0,29   k N

b)

δ A = 0,199   m m

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