Enunciado

A montagem mostrada consiste em um tubo de alumínio ( E = 70   G P a ; α = 23,6 × 10 - 6 / ° C ) preenchido com núcleo de latão ( E = 105   G P a ; α = 20,9 × 10 - 6 / ° C ) e, com ausência de tensão a uma temperatura de 20°C. Considerando somente deformações axiais, determine a tensão no tubo de alumínio quando a temperatura atingir 180 ° C .

Passo 1

Vamos entender o que acontece quando este tubo é aquecido. A parte de fora (alumínio) dilata mais do que a de dentro (latão), mas como tudo faz parte de uma coisa só a deflexão final terá de ser igual. Então vai ser daí que vai sair o nosso raciocínio, porque ambos estão sujeitos a dilatações térmicas, porém o alumínio vai tracionar o latão enquanto o latão impede a dilatação do alumínio. Em forma de equação vamos ter o seguinte:

δ t u b o = δ T A l - δ A l = δ T L a t ã o + δ L a t ã o

Então vamos calcular as deflexões geradas pelas tensões ( δ A l   e   δ L a t ã o ) e pela temperatura ( δ T A l   e   δ T L a t ã o ) de cada componente e coloca-los nessa equação!

Passo 2

Vamos calcular primeiro as dilatações térmicas. Para o alumínio:

δ T A l = α A l ⋅ L 0 ⋅ Δ T

δ T A l = 23,6 × 10 - 6 ⋅ 200 ⋅ ( 180 - 20 )

δ T A l = 23,6 × 10 - 6 ⋅ 200 ⋅ 160

δ T A l = 755200,0 × 10 - 6 m m

δ T A l = 0,7552   m m

Para o latão:

δ T L a t ã o = α L a t ã o ⋅ L 0 ⋅ Δ T

δ T L a t ã o = 20,9 × 10 - 6 ⋅ 200 ⋅ ( 180 - 20 )

δ T L a t ã o = 20,9 × 10 - 6 ⋅ 200 ⋅ 160

δ T L a t ã o = 668800 × 10 - 6 m m

δ T L a t ã o = 0,6688   m m

Passo 3

Agora vamos calcular as deflexões devido às tensões, primeiro para o alumínio:

δ A l = F ⋅ L A ⋅ E

Calculando a área do alumínio:

A = π ⋅ ( D e x t 2 - D i n t 2 ) 4

A = π ⋅ ( 50 e x t 2 - 20 i n t 2 ) 4

A = π ⋅ ( 2500 - 400 ) 4

A = π ⋅ 2100 4

A = 1649,64   m m ²

Continuando na equação da deflexão

δ A l = F ⋅ L A ⋅ E

δ A l = F ⋅ 200 1649,64 ⋅ 70

δ A l = 1,73 × 10 - 3 ⋅ F

Ainda não temos a força de interação entre as duas partes, de latão e de alumínio.

Calculando a deflexão para o latão:

δ L a t ã o = F ⋅ L A ⋅ E

A área para o latão será de:

A = π ⋅ D ² 4

A = π ⋅ 20 ² 4

A = π ⋅ 400 4

A = 314,16   m m ²

Continuando na equação da deflexão

δ L a t ã o = F ⋅ L A ⋅ E

δ L a t ã o = F ⋅ 200 314,16 ⋅ 105

δ L a t ã o = 6,06 × 10 - 3 ⋅ F

Como dito anteriormente, não temos a força F ainda que, por ser a força de interação, é igual para ambos os casos.

Passo 4

Agora vamos substituir na nossa equação do início do problema:

δ T A l - δ A l = δ T L a t ã o + δ L a t ã o

0,7552   - 1,73 × 10 - 3 ⋅ F = 0,6688   + 6,06 × 10 - 3 ⋅ F

Reorganizando

0,7552   - 0,6688   = 6,06 × 10 - 3 ⋅ F + 1,73 × 10 - 3 ⋅ F

0,0864 = ( 6,06 + 1,73 ) × 10 - 3 ⋅ F

0,0864 = 7,79 × 10 - 3 ⋅ F

F = 0,0864 7,79 ⋅ 10 - 3

F = 0,0864 7,79 × 10 3

F = 0,011 × 10 3 k N

F = 11   k N

Passo 5

Para descobrirmos a tensão no alumínio basta dividir a força pela área:

σ = F A

σ = 11000 1649,64

σ = 6,66   M P a

Neste caso a tensão será de compressão, já que o alumínio atrapalha a dilatação do latão. Como é uma tensão compressiva podemos escrever:

σ = - 6,66   M P a

Resposta

σ = - 6,66   M P a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma barra composta de duas porções cilíndricas AB e BC é engastada em ambas as extremidades. A porção AB é de aço ( E = 200G P a ; α = 11,7.10 - 6 ° C - 1 ) e a porção BC é de latão ( E = 105G P a ; α
A barra AB é de latão ( E = 105G P aeα = 20,9.10 - 6° C - 1 ) e a barra CD de alumínio ( E = 70G P aeα = 23,6.10 - 6° C - 1 ). Sabendo-se que a 16°C a fenda existente entre as extremidades das barras
Em um teste de tração, uma barra de alumínio de 20 m m de diâmetro é submetida a uma força P de 30k N . Sabendo-se que E =80 G P a e ϑ = 0,35 , determinar:O alongamento da barra, em um trecho central
Para as barras do P r o b .2 . 49 , vamos considerar que depois de ser perfeitamente ajustada cada uma das porcas A e C é afrouxada de meia volta. A temperatura de ambas as barras é então diminuída de
Para as barras do P r o b .2.63 , determinar:A temperatura á qual a tensão na barra AB deve ser de - 138M P a ;A correspondente deformação na barra AB.