Enunciado

Uma barra rígida A D é sustentada, como indicado, por dois arames de aço de 1,6   m m de diâmetro ( E = 200   G P a ), um pino e um suporte em D . Sabendo-se que os arames estão incialmente esticados, determinar: (a) a tração adicional em cada arame, quando uma força P de 530   N é aplicada em B ; (b) a correspondente deflexão no ponto B .

Passo 1

O problema pede a tração em cada arame e a deflexão do ponto B . Ou seja, vamos ter que utilizar, tanto uma equação de forças, no caso o equilíbrio das forças na vertical e o momento, quanto a equação da deflexão.

∑ F y = 0

∑ M D = 0

Vamos aplicar o momento em D porque é onde as forças, além de desconhecidas, não nos interessam.

δ = ∑ P i ⋅ L i A i ⋅ E i

Passo 2

Vamos fazer o diagrama de corpo livre da barra A B C D

Agora vamos aplicar as equações de equilíbrio:

∑ F y = 0

F A - P + F C + D y = 0

F A - 530 + F C + D y = 0

∑ M D = 0

F A ⋅ 600 - 530 ⋅ 400 + F C ⋅ 200 = 0

600 ⋅ F A + 200 ⋅ F C = 530 ⋅ 400

Podemos simplificar tudo por 200

3 ⋅ F A + F C = 530 ⋅ 2

3 ⋅ F A + F C = 1060

Perceba que nós temos duas equações e três incógnitas, e na verdade nem precisamos descobrir D y então a única equação que vai realmente importar nesse caso é a segunda.

3 ⋅ F A + F C = 1060

Então para descobrir as forças F A e F C vamos ter que utilizar a equação da deflexão.

Passo 3

A deflexão que vamos utilizar, neste caso, será dos fios, da seguinte forma:

δ A E = F A E ⋅ L A E A A E ⋅ E A E

δ C F = F C F ⋅ L C F A C F ⋅ E C F

Substituindo os valores vamos achar:

δ A E = F A E ⋅ L A E A A E ⋅ E A E

Com L A E = 380   m m , E A E = 200   G P a e a área é dada por

A = π ⋅ 1,6 2 4

δ A E = F A ⋅ 380 π ⋅ 1,6 2 4 ⋅ 200

δ A E = F A ⋅ 380 π ⋅ 1,6 2 ⋅ 50

δ A E = F A ⋅ 380 π ⋅ 2,56 ⋅ 50

δ A E = 0,945 ⋅ F A

Para o arame C F :

δ C F = F C F ⋅ L C F A C F ⋅ E C F

Com L A E = 200   m m , E A E = 200   G P a e a área é dada por

A = π ⋅ 1,6 2 4

δ C F = F C ⋅ 200 π ⋅ 1,6 2 4 ⋅ 200

δ C F = F C ⋅ 200 π ⋅ 1,6 2 ⋅ 50

δ C F = F C ⋅ 200 π ⋅ 2,56 ⋅ 50

δ C F = 0,497 ⋅ F C

Tá, mas e aí? Essas equações ainda significam BULHAFAS!

Agora vamos utilizar a nossa boa e velha GEOMETRIA!

Passo 4

Se a força P está para baixo é evidente que a barra irá girar para baixo, então vamos desenhar como vai ficar a nova posição de equilíbrio da barra.

Onde A B C representam os pontos originais da barra e A ' B ' C ' D ' representam os pontos da barra após a aplicação da força P .

A gente já calculou δ A e δ C em função das forças e agora podemos, por meio de uma semelhança de triângulos, achar uma relação entre as próprias deflexões.

Os triângulos A A ' D , B B ' D e C C ' D são todos semelhantes, por isso podemos escrever:

200 + 200 + 200 δ A = 200 + 200 δ B = 200 δ C

Como queremos uma relação entre δ A e δ C :

200 + 200 + 200 δ A = 200 δ C

600 δ A = 200 δ C

Simplificando por 200

3 δ A = 1 δ C

Multiplicando cruzado

3 ⋅ δ C = δ A

Passo 5

Agora voltamos a relação das forças em conjunto com a relação de deflexões que acabamos de achar.

3 ⋅ F A + F C = 1060

3 ⋅ δ C = δ A

δ A E = 0,945 ⋅ F A

δ C F = 0,497 ⋅ F C

Vale lembrar que o deslocamento do fio é igual ao do ponto em questão.

δ A E = δ A

δ C F = δ C

Assim:

3 ⋅ F A + F C = 1060

3 ⋅ δ C = δ A

δ A = 0,945 ⋅ F A

δ C = 0,497 ⋅ F C

Assim, podemos substituir as duas últimas equações na terceira:

3 ⋅ 0,497 ⋅ F C = 0,945 ⋅ F A

Reorganizando

F A = 3 ⋅ 0,497 0,945 ⋅ F C

F A = 1,578 ⋅ F C

Basta substituir na primeira equação

3 ⋅ F A + F C = 1060

3 ⋅ 1,578 ⋅ F C + F C = 1060

4,733 + 1 ⋅ F C = 1060

F C = 1060 5,733

F C = 184,90   N

E

F A = 1,578 ⋅ F C

F A = 1,578 ⋅ 184,9  

F A = 291,76   N

Fechamos a letra A.

Passo 6

Agora para fazermos a letra B vamos voltar para a geometria:

200 + 200 + 200 δ A = 200 + 200 δ B = 200 δ C

Como já sabemos as forças, podemos facilmente achar as deflexões:

δ A = 0,945 ⋅ F A

δ A = 0,945 ⋅ 291,76

δ A = 275,7   m m

δ C = 0,497 ⋅ F C

δ C = 0,497 ⋅ 184,90

δ C = 91,9   m m

Assim, podemos pegar qualquer uma dessas relações e substituir na da geometria:

200 + 200 δ B = 200 δ C

400 δ B = 200 91,9  

Simplificando por 200

2 δ B = 1 91,9  

Multiplicando cruzado:

δ B = 2 ⋅ 91,9     m m

δ B = 183,8   m m

Resposta

a)

F A = 291,76   N

F C = 184,90   N

b)

δ B = 183,8   m m

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