Enunciado

Os torques mostrados são aplicados às polias A ,   B e C . Sabendo-se que todo o eixo é maciço e feito de latão ( G = 39   G P a ), determinar o ângulo de torção entre: (a) A e B ; (b) A e C .

Passo 1

Observe que, por causa de um erro no enunciado, o problema não mencionou quais polias eram A ,   B e C . Portanto, vamos utilizar a seguinte definição:

Agora que sabemos quem são as nossas polias podemos continuar a análise do problema. A questão trata sobre o ângulo de torção, que é definido pela equação:

ϕ = T ⋅ L J ⋅ G

Onde:

  • ϕ é o ângulo de torção dado em radianos.
  • T é a torção
  • J o momento polar de inércia
  • G módulo de elasticidade

Pô, se o problema nos deu o módulo de elasticidade, o momento polar de inércia a torção e pede o ângulo então não deve ser algo muito complicado, correto? E sim, realmente não é, só precisamos ficar atentos a uma coisinha, qual torque atua na barra A B e na barra B C .

Para isso vamos fazer as seções e descobrir os torque.

Passo 2

Descobrir os torques.

Vamos seccionar a barra A B :

Para que a barra permaneça em equilíbrio deve haver um torque no valor de 400   N ⋅ m sendo aplicado na direção oposta, não é mesmo? Esse é o torque T mostrado na imagem e que vai entrar na nossa continha:

ϕ A B = T A B ⋅ L A B J A B ⋅ G A B

Passo 3

Vamos calcular o momento polar de inércia rapidinho, lembrado que o raio dessa barra é de 15   m m

J = π ⋅ ( 15 × 10 - 3 ) 4 2

J = π ⋅ 50.625 × 10 - 12 2

J = 79.521 × 10 - 12   m 4

Passo 4

Agora podemos substituir na equação

ϕ A B = 400 ⋅ 1,2 79.521 × 10 - 12 ⋅ 39 × 10 9

ϕ A B = 400 ⋅ 1,2 79.521 ⋅ 39 ⋅ 1 10 - 12 × 10 9

ϕ A B = 0,000154 ⋅ 10 3   r a d

ϕ A B = 0,154   r a d

Para transformar em graus é só multiplicar por

360 ° 2 π   r a d

ϕ A B = 0,154   r a d ⋅ 360 ° 2 π   r a d

ϕ A B = 8,82 °

Passo 5

Agora vamos fazer a mesma coisa para a barra B C e depois é só somar os ângulos! Então vamos seccionar a barra B C :

Agora para que a barra permaneça em equilíbrio deve haver um torque T contrapondo os outros dois, ou seja:

T + 400 = 1200

T = 1200 - 400 = 800   N ⋅ m

Vale lembrar que poderíamos pegar a parte da direita quando estivéssemos seccionando a barra e o resultado seria o mesmo!

Agora vamos substiruir na nossa conta

ϕ B C = T B C ⋅ L B C J B C ⋅ G B C

Passo 6

Vamos calcular o momento polar de inércia rapidinho, lembrado que o raio dessa barra é de 20   m m

J = π ⋅ ( 20 × 10 - 3 ) 4 2

J = π ⋅ 160.000 × 10 - 12 2

J = 251.327 × 10 - 12   m 4

Passo 7

Agora podemos substituir na equação, mas devemos lembrar que o torque T B C tem sentido inverso do torque T A B então devemos introduzir um sinal negativo

ϕ B C = - 800 ⋅ 1,8 251.327 × 10 - 12 ⋅ 39 × 10 9

ϕ B C = - 900 ⋅ 1,8 251.327 ⋅ 39 ⋅ 1 10 - 12 × 10 9

ϕ B C = - 0,000165 ⋅ 10 3   r a d

ϕ B C = - 0,165   r a d

Para transformar em graus é só multiplicar por

360 ° 2 π   r a d

ϕ A B = - 0,165   r a d ⋅ 360 ° 2 π   r a d

ϕ A B = - 9,45 °

Passo 8

Somar os dois ângulos:

ϕ A C = ϕ A B + ϕ B C

ϕ A C = 8,82 ° - 9,45 °

ϕ A C = - 0,63 °

Resposta

a)

ϕ A B = 8,82 °

b)

ϕ A C = - 0,63 °

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