Enunciado

Uma barra uniforme AE deve ser apoiada em dois pontos B e D. Determine a distância a para a qual a inclinação nas extremidades A e E seja zero.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, nesse caso, a única força exercida sobre a barra é o seu peso próprio, que é análogo a um carregamento distribuído ao longo de toda a viga. Então vamos começar encontrando a força nos apoios, nesse caso, como temos um carregamento simétrico aplicado na viga, a reação nos apoios será igual a metade da carga aplicada, ou seja:

B y = E y = w ( L ) 2 → B y = D y = w L 2

Para encontrar o momento nos pontos A e C, vamos desenhar DCL para uma seção da viga de comprimento 0 < x < a , onde teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M + w x x 2 = 0 → M = - w x 2 2

Agora, estendendo a seção até algum ponto entre B e C, teremos o seguinte DCL:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G, teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

M - w L 2 x + w x + a x + a 2 = 0 → M = - w x + a x + a 2 + w L x 2

Agora nós vamos separar os momentos em duas partes. A primeira é a parte parabólica que está presente nas duas seções, com a mesma intensidade, em função da distância. A segunda é a parte linear devido a reação de apoio em B, então teremos

M 1 = - w x 2 2   0 < x < L 2

M 2 = w L x 2   a < x < L 2

Passo 3

Agora vamos calcular os momentos nos pontos A, B e C, onde teremos:

M 1 A = 0

M 1 B = - w a 2 2

M 1 C = - w L 2 8

M 2 B = 0

M 2 C = w L L 2 - a 2 → M 2 C = w L L - 2 a 4

Então nosso diagrama M/EI será:

Passo 4

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, só lembrando que vamos precisar somente da área entre os pontos AB e entre BC, então teremos:

A 1 = b h 3 = L 2 - w L 2 8 E I 3 → A 1 = - w L 3 48 E I

x - 1 = b 4 = L 2 4 → x - 1 = L 8

A 2 = b h 2 = L 2 - a w L L - 2 a 4 E I 2 → A 2 = w L L - 2 a 2 16 E I

x - 2 = L 2 - a 3 = L - 2 a 2 3 → x - 2 = L - 2 a 6

Passo 5

Tá legal! Agora, sabendo que a inclinação entre dois pontos é representada pela área sob a curva do diagrama M / E I , então a inclinação do ponto A com relação ao ponto C será:

θ A / C = θ A - θ C = A 1 + A 2

Substituindo os valores encontrados para a área, fazendo com que a inclinação em A seja 0 e sabendo que no ponto C não teremos inclinação devido ao carregamento simétrico e localizado no centro da viga, teremos:

0 - 0 = - w L 3 48 E I + w L L - 2 a 2 16 E I → w L L - 2 a 2 16 E I = w L 3 48 E I

L - 2 a 2 = L 2 3 → L 2 1 - 2 a L 2 = L 2 3

1 - 2 a L 2 = 1 3 → 1 - 2 a L = 1 3 → a = 0,2113 L

Valeeeeeu!

Resposta

a = 0,2113 L

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