Enunciado

Para a viga e o carregamento do Problema 9.117, determine (a) a força P para a qual a deflexão é zero no ponto médio C da viga e (b) a deflexão correspondente na extremidade A. Use E = 200 GPa.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Beleza! Para encontrar o momento nos pontos B e C, vamos desenhar DCL para essas duas partes. Então, para uma seção de comprimento x entre os pontos A e B, teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M + 6,67 x = 0 → M = - 6,67 x

Com 0 < x < 610   m m . Agora vamos estender essa seção para um comprimento x entre B e C, onde teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

M + 6,67 ( x + 0,61 ) - B y x = 0 → M = - 6,67 x + B y x - 4,07

Passo 3

Agora vamos dividir os momentos em 3 partes. A primeira será a porção linear referente ao momento gerado pela força em A. A segunda será a porção linear referente a reação de apoio em B e a terceira será a porção constante referente a força aplicada em A. Então teremos:

M 1 = - 6,67 x   ( 0 < x < 1,982   m )

M 2 = B y x   0,61 < x < 1,982   m

M 3 = - 4,07   0,61 < x < 1,982   m

Agora vamos calcular os momentos nos pontos A, B e C, onde teremos:

M 1 A = 0

M 1 B = - 4,07   k N

M 1 C = - 13,22   k N

M 2 B = 0

M 2 C = 1,372 B y

M 3 B = M 3 C = - 4,07   k N

Passo 4

Então nosso diagrama M/EI será:

Agora, antes de calcular as áreas sob o diagrama, precisamos calcular o termo EI que fica no denominador, consultando o apêndice C, teremos o seguinte momento de inércia para o nosso perfil de viga:

I = 9,16.10 6   m m 4 = 9,16.10 - 6   m 4

Então o termo EI será:

E I = 200.10 9 9,16.10 - 6 → E I = 1,832.10 6   N . m 2 = 1832   k N . m 2

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, só lembrando que vamos precisar somente da área entre os pontos AB e entre BC, então teremos:

A 1 = b h 2 = ( 0,61 ) - 4,07 1832 2 → A 1 = - 677,59.10 - 6

x - 1 = b 3 = 0,61 3 → x - 1 = 0,203   m

A 2 = b h 2 = 1,372 - 13,22 - 4,07 1832 2 → A 2 = - 3,426 . 10 - 3

x - 2 = b 3 = 1,372 3 → x - 2 = 0 , 457   m

A 3 = b h 2 = ( 1,372 ) - 4,07 1832 → A 3 = - 3,048.10 - 3

x - 2 = b 2 = 1,372 2 → x - 2 = 0,686   m

A 4 = b h 2 = ( 1,372 ) 1,372 B y 1832 2 → A 1 = 513,75.10 - 6 B y

x - 4 = b 3 = 1,372 3 → x - 4 = 0,457   m

Passo 5

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:

t B / C = A B C x -

Em que A B C é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t B - t C = A 2 x - 2 + A 3 x - 3 + A 4 x - 4

Sabendo que não temos deflexão em B devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, teremos:

0 - 0 = - 3,426.10 - 3 0,457 + - 3,048.10 - 3 0 , 686 + 513,75.10 - 6 B y 0,457

B y = 15,6   k N

Então a força P para quando temos deflexão zero no ponto C pode ser encontrada através do somatório de forças na direção y, já que o carregamento é simétrico e teremos B y = D y , então teremos:

+ ↑ ∑ F y = 0

- 6,67 - P - 6,67 + 15,6 + 15,6 = 0 → P = 17,86   k N

Beleza, vamos pra (b) agora!

Passo 6

Tá legal! Agora podemos calcular a deflexão no ponto A, utilizando novamente o teorema do segundo momento de área, então teremos:

t A / C = A A C x -

t A - t C = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3 + A 4 x - 4

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

t A - 0 = - 677,59.10 - 6 1,372 + 0,203 - 3,426.10 - 3 0,457 + - 3,048.10 - 3 0,686 + 513,75.10 - 6 15,6 0,457

t A = - 1,06.10 - 3   m

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

a : P = 17,86   k N

b : t A = - 1,06.10 - 3   m

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