Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação no ponto A e (b) a deflexão no ponto A.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto C para descobrir o valor da reação no ponto B, então teremos:

+ ↺ ∑ M C = 0

M 0 - B y L = 0 → B y = M 0 L

Agora vamos desenhar o DCL para uma seção da viga de comprimento 0 < x < a , para obter a expressão para o momento nessa parte, então teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M + M 0 = 0 → M = - M 0

Passo 3

Agora, estendendo a seção até algum ponto entre B e C, teremos o seguinte DCL:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G, teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

M + M 0 - M 0 L x = 0

M = - M 0 + M 0 L x

Com as equações para o momento que encontramos, fica fácil ver que o momento será constante entre os pontos A e B, e depois irá decair linearmente até chegar em 0 no ponto C. Dessa forma, nosso diagrama M/EI será:

Passo 4

Agora vamos calcular os momentos nos pontos E e B para cada um deles, para que depois possamos desenhar o diagrama M/EI, então teremos:

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:

A 1 = b h = a - M 0 E I → A 1 = - M 0 a E I

x - 1 = b 2 = a 2 → x - 1 = a 2

A 2 = b h 2 = L - M 0 E I 2 → A 2 = - M 0 L 2 E I

x - 2 = b 3 = L 3 → x - 2 = L 3

Passo 5

Tá legal! Nesse caso, a letra (a) nos pede a inclinação no ponto A, e podemos escreve-la como:

θ B / A = θ B - θ A

No entanto, precisamos encontrar primeiro a inclinação no ponto B, que pode ser encontrada através da equação 9.22 vista nessa seção, onde teremos:

θ B = - t C / B L

E, sabemos que o desvio tangencial do apoio C em relação a B é dado por:

t C / B = A 2 x - 2

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t C / B = - M 0 L 2 E I 2 L 3 → t C / B = - M 0 L 2 3 E I

Então a inclinação em B será:

θ B = - t C / B L = - - M 0 L 2 3 E I L → θ B = M 0 L 3 E I

Então a inclinação no ponto A será:

θ B / A = θ B - θ A → A 1 = M 0 L 3 E I - θ A

θ A = M 0 L 3 E I - - M 0 a E I → θ A = M 0 3 E I L + 3 a

Passo 6

No nosso caso, para encontrar a deflexão no ponto A, sabemos que ela será o desvio tangencial de A com relação a B, somado a proporção do desvio de C com relação a B, onde teremos:

t A = a L t C / B + t A / B

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, onde para o nosso caso, teremos:

t A / B = A A B x -

t C / B = A C B x -

Em que A E A é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto E. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t A = a L - M 0 L 2 E I 2 L 3 + - M 0 a E I a 2 = - M 0 L a 3 E I - M 0 a 2 2 E I

t A = - M 0 a 6 E I 2 L + 3 a

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

a : θ A = M 0 3 E I L + 3 a

b : t A = - M 0 a 6 E I 2 L + 3 a

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