Enunciado

A barra uniforme esbelta é liberada a partir do repouso na posição horizontal mostrada. Determine o valor de x para o qual aa aceleração angular é máxima, e determine a aceleração angular correspondente α .

Passo 1

Queremos encontrar a aceleração angular da barra, então vamos precisar da seguinte fórmula:

∑ M O = I O α

Como calcular I O ? O momento de inércia da barra em relação ao centro de massa é seguinte:

I c m = 1 12 m l 2

E podemos calcular o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo ponto O usando o teorema dos eixos paralelos:

I O = I c m + m x 2

Já que x é a distância entre o centro de gravidade e o ponto O onde a barra está apoiada.

I O = m l 2 12 + x 2

Então nossa equação fica:

∑ M O = m l 2 12 + x 2 α

Passo 2

Agora precisamos escrever uma expressão para a soma dos momentos em relação ao ponto O :

A única força que produz momento nesse caso é a força peso, que está a uma distância x do ponto O , então:

∑ M O = P x = m g x

Então:

m g x = m l 2 12 + x 2 α

E isolando α :

α = g x l 2 12 + x 2

Nosso objetivo é encontrar o valor de x que maximiza a aceleração angular, então temos que procurar os pontos de máximo dessa função α ( x ) , ou seja, os pontos que satisfazem a seguinte relação:

d d x α = d d x g x l 2 12 + x 2 = 0

Para resolver essa derivada vamos precisar da regra do quociente:

d d x α = g l 2 12 + x 2 - g x 2 x l 2 12 + x 2 2

Quando igualamos isso a zero, a expressão pode ser bastante simplificada, pois o denominador pode ser “cortado”:

g l 2 12 + x 2 - g x 2 x = 0  

Agora podemos dividir tudo por g e reorganizar a equação:

- x 2 + l 2 12 = 0

Como as soluções negativas não fazem sentido nesse caso, a única solução é:

x = l 12 = l 2 3

Passo 3

E podemos calcular a aceleração angular associada a esse valor de x :

α = g x l 2 12 + x 2

Substituindo x = l / 2 3 :

α = g l 2 3 l 2 12 + l 2 12

α = 6 g l 2 l 2 3 = g 3 l

Resposta

O valor que maximiza a aceleração angular é x = l 2 3 . Nesse caso, a aceleração angular é α = g 3 l .

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