Enunciado

Para o Prob. 6 / 46 , determine a componente na direção n da força exercida pelo mancal em O um instante antes do impacto da barra com a quina B .

Passo 1

Vamos começar com um esquema da situação quando θ = 30 ° (imediatamente antes do impacto):

E então podemos aplicar a segunda lei de Newton na direção normal:

∑ F n = O n - m g sen ⁡ 30 ° = m a n

Onde a n é a aceleração normal do centro de massa da barra, ou seja:

a n = r c m ω 2

Então:

O n = m r c m ω 2 + g sen ⁡ 30 °

E já temos todas essas variáveis, exceto ω , que é a velocidade angular no instante em que θ = 0 .

Passo 2

Então vamos procurar a aceleração angular do sistema, ainda aproveitando o desenho que fizemos no passo anterior, mas dessa vez fazendo para um ângulo θ qualquer:

∑ M O = I O α

O momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo ponto O é I O = 1 3 m L 2 .

m g cos ⁡ θ = 1 3 m L 2 α

α = 3 g L 2 cos ⁡ θ = 9,08 cos ⁡ θ

E como podemos usar isso para calcular a velocidade angular em θ = 30 ° ? Vamos lembrar da definição da aceleração angular:

α = d ω d t

Usando a regra da cadeia, podemos reescrever isso da seguinte forma:

α = d ω d θ d θ d t = ω d ω d θ

α   d θ = ω   d ω

Que é uma equação diferencial que pode ser resolvida para encontrar uma função ω ( θ ).

Passo 3

Vamos integrar os dois lados dessa equação, sabendo que θ vai de θ = 0 ° até θ = 30 ° = π / 6 enquanto ω vai de ω = 0 até um valor ω f que queremos calcular:

α   d θ = ω   d ω

∫ 0 π / 6 9,08 cos ⁡ θ   d θ = ∫ 0 ω f ω   d ω

9,08 sen ⁡ π 6 = ω f 2 2

ω f 2 = 9,08   r a d s 2

E agora é só substituir tudo na fórmula que encontramos no primeiro passo (usando alguns valores que foram dados no problema 6 / 46 ):

O n = m r c m ω 2 + g sen ⁡ 30 °

O n = 20 1,8 2 9,08 + 9,81 sen ⁡ 30 °

O n = 262   N

Resposta

A componente normal da força exercida pelo mancal é de 262   N no instante anterior ao impacto.

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