Enunciado

A barra uniforme OA tem um peso de 100 N e quando ela está na posição vertical, a mola está livre. Determine a posição θ para o equilíbrio. Investigue a estabilidade na posição de equilíbrio.

Passo 1

Desenhando o diagrama do corpo livre:

Passo 2

Começamos calculando a elongação da mola:

s = 0,3 θ  

V g = 100 ⋅ 0,45 ⋅ c o s θ V g = 45 ⋅ c o s θ

Passo 3

Calculamos a energia potencial elástica da mola (k=400 N/m do enunciado): V s = 1 2 ⋅ k s 2 = 1 2 × 400 × 0,3 θ 2 V s = 18 θ ²

Passo 4

Calculando a energia potencial total do sistema temos:

V = 45 c o s θ + 18 θ ²

Passo 5

Para encontrar a posição de equilíbrio, devemos encontrar a primeira derivada:

d V d θ = - 45 s e n θ + 18 × 2 × θ = - 45 s e n θ + 36 θ d V d θ = 0 ⇒ - 45 s e n θ + 36 θ 45 s e n θ = 36 θ

θ = 64,81 º

Passo 6

Para analisar a estabilidade, devemos calcular a expressão da segunda derivada: d 2 V d θ 2 = - 45 c o s θ + 36 d 2 V d θ 2 θ = 0 = - 45 c o s 0 + 36 = 36 - 45 = - 9 < 0   ⇒   i n s t á v e l d 2 V d θ 2 θ = 64,81 º =   - 45 cos ⁡ 64,81 + 36 = 16,84 > 0 ⇒ e s t á v e l

Resposta

θ = 0   ( i n s t á v e l ) θ = 64,81 º   ( e s t á v e l )

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