Enunciado

Se o bloco D pesa 1,5   k N e o bloco B   pesa 1,375   k N , determine o peso do bloco C e do ângulo θ para o equilíbrio.

Passo 1

Falaaaa galerinha bonita do RespondeAí, bora lá fazer esse exercício deliciinha? Partiu!

Saca só, o enunciado nos fornece 3 blocos conectadas através de cabos e polias como no diagrama a seguir:

O enunciado continua nos dizendo que se o bloco D pesa 1,5   kN e o bloco B pesa 1,375   kN , então é pra gente encontrar o peso do bloco C e do ângulo θ para o equilíbrio.

Passo 2

Iradoso galerinha, então se a gente desenhar as forças que atuam no sistema, vamos ter que:

Onde as tensões T em cada corda são geradas pelos respectivos pesos P , de modo que quando falamos em módulo, teremos que:

T A = P A ,     T B = P B ,     T C = P C

Belezinha, vamos lá! Agora pensa aqui comigo: no equilíbrio, esses componentes do sistema não se mexem. Inclusive o ponto A . Então vamos dizer que ele está em equilíbrio. Ou seja, no ponto A :

∑ F x = 0

∑ F y = 0

Isso quer dizer que se a gente conseguir encontrar o valor da tensão T C , estaremos encontrando a intensidade do peso P C do bloco C .

Passo 3

Então belezinha pessoal, pra gente poder escrever as equações do equilíbrio, precisamos decompor as forças em cada eixo. Primeiro para a tensão T B , teremos que:

T B x = T B cos ⁡ θ ,     T B y = T B sen ⁡ θ

Para a tensão T C temos que:

T C x = T C cos ⁡ 30 ° ,     T C y = T C sen ⁡ 30 °

E para a tensão T D , como ela está somente na vertical, teremos que:

T D x = 0 ,     T D y = 1,5   kN

Meczada, agora se a gente fizer a soma no eixo x , vamos ter que:

∑ F x = 0

T B x + T C x + T D x = 0

Como T B x está no sentido negativo, teremos que:

- T B cos ⁡ θ + T C cos ⁡ 30 ° + 0 = 0

Logo, isolando T C :

T C = T B cos ⁡ θ cos ⁡ 30 °

Agora para o eixo y , teremos:

∑ F y = 0

T B y + T C y + T D y = 0

Como T D y está no sentido negativo do eixo y , teremos:

T B sen ⁡ θ + T C sen ⁡ 30 ° - 1,5 = 0

Passo 4

Iradoso, mas se a gente substituir o valor de T C que encontramos nessa equação vamos obter um sistema muito complicado, MAAASSSSSSS, como a gente é malandro desde sempre, vamos lembrar lá do capítulo anterior e da Lei dos Cossenos, afinal podemos montar um triângulo com as forças, dado como:

Agora podemos aplicar a lei dos cossenos para T C de acordo com o ângulo 90 ° - θ .

Logo:

T C 2 = T B 2 + T D 2 - 2 T B T D cos ⁡ ( 90 ° - θ )

Como cos ⁡ 90 ° - θ = sen ⁡ θ , e o enunciado nos deu os valores de T B = 1,375   kN e T D = 1,5   KN , vamos obter que:

T C 2 = T B 2 + T D 2 - 2 T B T D sen ⁡ ( θ )

T C 2 = 4,14 - 4,125 sen ⁡ ( θ )

E como vimos que:

T C = T B cos ⁡ θ cos ⁡ 30 °

T C = 1,59 cos ⁡ θ

Então T C 2 será dado como:

T C 2 = 2,52 cos 2 ⁡ θ

E como a relação trigonométrica fundamental nos diz que cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1 , então:

T C 2 = 2,52 1 - sen 2 ⁡ θ

Igualando com a relação T C 2 = 4,14 - 4,125 sen ⁡ ( θ ) , vamos ter que:

2,52 1 - s e n 2 ⁡ θ = 4,14 - 4,125 sen ⁡ ( θ )

Reorganizando:

2,52 sen 2 ⁡ θ - 4,125 sen ⁡ θ + 1,62 = 0

Então se a gente fizer sen ⁡ θ = x , teremos a seguinte equação do segundo grau:

2,52 x 2 - 4,125 x + 1,62 = 0

E se a gente resolver essa equação, vamos encontrar as raízes:

x 1 = 0,9828 ,     x 2 = 0.6541

Então por enquanto temos dois ângulos possíveis para θ , dados como:

θ 1 = arcsen ⁡ 0,9828 ,     θ 2 = arcsen ⁡ 0 , 6541

Logo:

θ 1 = 79,4 ° ,     θ 2 = 40 , 9 °

Passo 5

Belezera, agora se a gente substituir esses dois ângulos na equação para T C :

T C = 1,59 cos ⁡ θ

Para θ 1 = 79,4 ° , vamos obter:

T C 1 = 1,59 cos ⁡ 79,4 °

T C 1 = 0,29   kN

Agora para θ 2 = 40,9 ° :

T C 2 = 1,59 cos ⁡ 40,9 °

T C 2 = 1,20   kN

Maravilha, temos duas respostas possíveis, MAAAASSSSS, pra saber qual delas é a certa, precisamos testar na nossa equação para o eixo y , dada como

T B sen ⁡ θ + T C sen ⁡ 30 ° - 1,5 = 0

A combinação que respeitar essa equação, vai ser nossa resposta certa.

Belezinha, testando para θ 1 , teremos:

1,375 sin ⁡ 79.4 ° + 0,29 sen ⁡ 30 ° - 1,5 = 0

E por muito pouco vamos ter:

- 0,003 = 0

- 0,003 ≠ 0

De modo que essa não é a resposta certa. Agora para a segunda combinação de θ 1 , vamos obter:

1,375 sin ⁡ 40,9 ° + 1 , 2 0 sen ⁡ 30 ° - 1,5 = 0

0 = 0

Então nossa resposta certa será para θ 2 , de modo que:

T C = 1,20   kN ,     θ = 40,9 °

Resposta

T C = 1,20   kN ,     θ = 40,9 °

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