Enunciado

O bloco retangular homogêneo de 250   k g é articulado em torno de um eixo horizontal que atravessa O e é apoiado por duas molas, cada uma de rigidez k . A base do bloco está horizontal na posição de equilíbrio, com cada mola sob uma força compressiva de 250   N . Determine a rigidez mínima das molas, que garantirá vibração em torno da posição de equilíbrio.

Passo 1

Vamos começar com uma equação de momentos em relação ao ponto O :

∑ M O = I O θ ¨

O momento da força peso vai seguir a relação usual. Nesse caso, o centro de massa está a uma distância 0,600 2 = 0,300   m do ponto, então:

M g = m g sen ⁡ θ 0,300

Mas ao contrário do que costuma acontecer, dessa vez o momento da força peso tem sinal positiva, porque ele contribui para o aumento do deslocamento angular θ .

Já para o momento das forças nas molas, temos que analisar o seguinte:

Então as forças nas molas terão o seguinte módulo:

F = k Δ x = k 0,375 sen ⁡ θ

E a distância perpendicular de cada uma delas até o ponto O é:

d = 0,375 cos ⁡ θ

Então (como temos duas molas):

M e l = - 2 F d = - ( 2 ) k 0,375 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Beleza, já podemos escrever uma expressão para o somatório do lado esquerdo da equação:

∑ M O = M e l + M g

∑ M O = - 0,281   k sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 0,300   m g sen ⁡ θ

Passo 2

Agora vamos substituir isso na nossa equação principal:

∑ M O = I O θ ¨

- 0,281   k sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 0,300   m g sen ⁡ θ = I O θ ¨

E fazer as aproximações sen ⁡ θ ≅ θ e cos ⁡ θ ≅ θ :

- 0,281 k θ + 0,300 m g = I O θ ¨

θ ¨ + 0,281 k - 0,300 m g I O θ = 0

O objetivo da questão é mostrar um valor de k que garanta que haja vibração em torno da posição de equilíbrio.

Para garantir isso, precisamos de um valor de k para o qual a última equação que escrevemos seja a equação de um oscilador harmônico. Nesse caso:

ω 2 = 0,281 k - 0,300 m g I O

A única exigência para isso é que o termo do lado direito seja positivo. Então, no caso limite:

0,281 k - 0,300 m g I O = 0

k = 0,300 250 9,81 ( 0,281 ) = 2,62   k N / m

Resposta

A mola deve ter uma rigidez mínima de k = 2,62   k N / m .

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