Enunciado

O bloco triangular de peso W se apoia sobre os cantos lisos que estão separados por uma distância a . Se o bloco possui três lados iguais de comprimento d , determine o ângulo θ para que haja equilíbrio.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar o ângulo θ necessário para que o corpo esteja em equilíbrio. Considerando que o bloco triangular tem peso W e se apoia nos cantos lisos D e F separados por uma distância a .

Então bora lá! Para resolver esse problema, vamos começar analisando o diagrama de corpo livre:

Onde a distância entre o ponto A e o centro de gravidade G é:

A G - = d 3 3

Logo, y é dado por:

y = A G cos ⁡ θ

y = d 3 3 cos ⁡ θ

Passo 2

Podemos tirar ainda outras informações do diagrama de corpo livre. Para descobrirmos a distância h do centro de massa G (ponto de aplicação de W ) até o datum, vamos começar analisando o triângulo formado pelos pontos A , E e F , onde o ângulo entre  A F - e E F - pode ser obtido por:

∠ A F E = 180 ° - θ + 30 ° - 90 °

∠ A F E = 60 ° - θ

Fazendo o mesmo para o triângulo formado pelos pontos A , D e F , podemos obter o ângulo entre as retas A D - e D F - :

∠ A D F = 180 ° - 6 0 ° - ∠ A F E

∠ A D F = 120 ° - 60 ° - θ

∠ A D F = 60 ° + θ

Passo 3

Ainda para esse triângulo A F D , agora que temos todos os seus ângulos internos, podemos usar a lei dos senos para determinar o comprimento da reta  A F - e, posteriormente, utilizá-la para determinar A E - . Começando pela lei dos senos no triângulo A F D :

a sen ⁡ 60 ° = A F - sen ⁡ ∠ A D F

A F - = a sen ⁡ 60 ° + θ sen ⁡ 60 °

E, finalmente, analisando o triângulo A F E temos que  A E - é dado por:

A E - = A F - sen ⁡ ∠ A F E

A E - = a sen ⁡ 60 ° + θ sen ⁡ 60 ° sen ⁡ 60 ° - θ

Substituindo sen ⁡ 60 ° - θ * sen ⁡ 60 ° + θ por sen 2 ⁡ 60 ° - sen 2 ⁡ θ , temos:

A E - = a sen ⁡ 60 ° sen 2 ⁡ 60 ° - sen 2 ⁡ θ

Analisando novamente o diagrama de corpo livre, podemos concluir que:

h = y - A E -

h = d 3 3 cos ⁡ θ - a sen ⁡ 60 ° sen 2 ⁡ 60 ° - sen 2 ⁡ θ

Passo 4

Até aqui só geometria né galera? Essa parte é desgastante, mas é importante para o nosso próximo passo, determinar a equação da energia potencial V do sistema. Como nós temos atuando somente o peso do bloco triangular, a energia potencial nesse caso é:

V = V g

V = W h

V = W d 3 3 cos ⁡ θ - a sen ⁡ 60 ° sen 2 ⁡ 60 ° - sen 2 ⁡ θ

Passo 5

Agora que nós determinamos a equação da energia potencial do sistema, para analisar o equilíbrio do corpo, podemos simplesmente fazer a derivada de V em relação a θ e o resultado deve ser zero. Ou seja:

d V d θ = 0

d d θ W d 3 3 cos ⁡ θ - a sen ⁡ 60 ° sen 2 ⁡ 60 ° - sen 2 ⁡ θ = 0

sen ⁡ θ 3 - d + 4 a cos ⁡ θ = 0

Daqui já temos que θ 1 = 0 , pois sen ⁡ 0 = 0 . Continuando resolvendo a equação, o segundo caso é quando:

- d + 4 a cos ⁡ θ = 0

cos ⁡ θ = d 4 a

θ 2 = cos - 1 ⁡ d 4 a

É isso, galera. Até que foi de boa né?

Partiu pra próxima!

Resposta

θ 1 = 0

θ 2 = cos - 1 ⁡ d 4 a

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