Enunciado

Uma bola de 0,5 kg é guiada ao longo da trajetória circular vertical r = 2 r c cos ⁡ θ usando o braço O A . Se o braço tem velocidade angular θ ˙ = 0,4   r a d / s e aceleração angular θ ¨ = 0,8   r a d / s   no instante que θ = 30 ° , determine a força do braço sobre a bola. Despreze o atrito e a dimensão da bola. Faça r c = 0,12 m.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa da bola: m = 0,5   k g

Velocidade angular: θ ˙ = 0,4   r a d / s

Aceleração angular: θ ¨ = 0,8   r a d / s 2

Trajetória: r = 2 r c cos ⁡ θ

Raio do semi circulo: r c = 0,12 m

Trajetória circular vertical.

A questão pede para determinarmos a força do braço sobre a bola quando θ = 30 ° .

Desenhamos o seguinte diagrama de corpo livre:

Onde N é a força normal, F O A é a força exercida pela barra e W = m g é a força peso.

Lembre-se de que a força normal é perpendicular à tangente do movimento. Como o movimento corresponde à um semi circulo de raio r c , a direção de N será a mesma do raio deste semi círculo.

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar as derivadas temporais

Em r :

r = 2 r c cos ⁡ θ m

r ˙ = d r d t = - 2 r c θ ˙ sen ⁡ θ   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = - 2 r c θ ˙ 2 cos ⁡ θ - 2 r c θ ¨ sen ⁡ θ   m / s 2

Para   θ = 30 ° :

θ ˙ = 0,4   r a d / s

θ ¨ = 0,8   r a d / s 2

r = 0,21   m

r ˙ = d r d t = - 0,048   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = - 0,13   m / s 2

Passo 3

Sabemos que as componentes da aceleração nas coordenadas r e θ são dadas por

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Logo,

a r = - 0,13 - 0,21 ( 0,4 2 ) = - 0,16   m / s 2

a θ = 0,21 0,8 + 2 ( - 0,048 ) ( 0,4 ) = 0,13   m / s 2

Passo 4

Agora vamos descobrir o ângulo com que a força normal é aplicada à bola.

Pela análise trigonométrica do seguinte triângulo, vemos que se trata de um triângulo isósceles onde θ e α são os ângulos de base. Portanto,

θ = α = 30 °

Passo 5

Aplicaremos as Equações do Movimento.

Analisando no eixo r , temos que

∑ F r = m a r

N cos ⁡ α - W sen ⁡ θ = m a r

N cos ⁡ 30 ° = 0,5 - 0,16 + 0,5 9,81 sen ⁡ 30 °

N = 2,74   N

Analisando no eixo θ , temos que

∑ F θ = m a θ

F O A + N sen ⁡ α - W cos ⁡ θ = m a θ

F O A = 0,5 0,13 - 2,74 sen ⁡ 30 ° + 0,5 9,81 cos ⁡ 30 °

F O A = 2,94   N

Resposta

F O A = 2,9   N

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