Enunciado

Uma bola de 200   g , que pode deslizar sobre uma superfície horizontal sem atrito, está presa ao ponto fixo   O por meio de uma corda elástica de constante k = 150   N / m e comprimento indeformado de 600   m m . A bola é posta no ponto A , a 900   m m de O , e recebe uma velocidade inicial V A perpendicular a O A . Sabendo que a distância d = 100 m de O , determine (a) a velocidade inicial v A da bola, (b) sua velocidade v depois da corda se tornar frouxa.

Passo 1

Olá, galera! Tudo bem?

O problema pede que determinemos a velocidade inicial da bola, v A , e a velocidade depois que a corda se torna frouxa, que chamaremos de v B . Vamos iniciar essa resolução fazendo um esboço da situação enunciada.

A bola é posta no ponto A , a 900   m de O , o que faz com que a corda seja esticada. Marcamos ali o ponto B . Após ser solta, dali em diante, observe que a corda vai se afrouxando.

O enunciado nos fornece os seguintes dados:

m = 200   g = 0,2   k g

k = 150   N / m

r i n d e f o r m a d a = 600   m = 0,6   m

r A = 900   m = 0,9   m

d = 100   m = 0,1   m

Passo 2

Posição A:

Vamos encontrar a deflexão da corda, x A , após a bola ser colocada no ponto A.

x A = r A - r i n d e f o r m a d a

x A = 0,9 - 0,6

x A = 0.3   m

Em posse de x A , e sabendo que k = 150   N / m , vamos então encontrar a energia potencial V A .

V A = 1 2 k x A 2

V A = 150 0,3 2 2 = 6,75   J

Calculando a energia cinética T A , obtemos:

T A = 1 2 m v A 2

T A = 0,2 v A 2 2 = 0,1 v A 2

Passo 3

Posição B:

Passando desse ponto, a corda se torna frouxa, o alongamento é zero. Portanto,

V B = 1 2 k x B 2 = 0

E, calculando a energia cinética T B ,

T B = 1 2 m v B 2

T B = 0,2 v B 2 2 = 0,1 v B 2

Passo 4

Conservação da energia:

Quando uma partícula se desloca sob a ação de forças conservativas, a soma da energia cinética e da energia potencial da partícula permanece constante. Assim, Eq. (13.24):

T A + V A = T B + V B

Substituindo, temos:

0,1 v A 2 + 6,75 = 0,1 v B 2 + 0

0,1 v A 2 + 6,75 = 0,1 v B 2

Passo 5

Agora, aplicando o princípio da conservação do momento angular:

m v A r A = m v B d

0,9 v A = 0,1 v B

v B = 9 v A

Substituindo v B na equação encontrada no Passo 4, temos:

0,1 v A 2 + 6,75 = 0,1 9 v A 2

0,1 v A 2 - 8,1 v A 2 = - 6,75

8 v A 2 = 6,75

v A = 0,919   m / s

Passo 6

Em posse de v A , encontramos v B :

v B = 9 v A

v B = 9 0,919 = 8,271   m / s

Resposta

a )   v A = 0,919   m / s

v M á x = v B = 8,271   m / s

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