Enunciado

O movimento da porta de garagem uniforme de 40 kg é guiado em suas extremidades pelo trilho. Determine a extensão inicial da mola requerida quando a porta é aberta, θ = 0°, de modo que, quando a porta cair livremente, entra em repouso assim que atingir a posição de fechamento total, θ = 90°. Suponha que a porta possa ser tratada como uma placa fina, e que há um sistema de mola e polia em cada um dos lados da porta.

Passo 1

Iremos considerar a aceleração da gravidade g = 9,81   m / s 2 .

Tomaremos como base de análise para o problema o seguinte esquema:

Vamos considerar também s A como sendo o comprimento do segmento AC, avaliado a partir do ponto C, e ainda s s como o comprimento da parte superior do trilho, que vai da polia C até a extremidade da outra polia. Sendo assim, o comprimento total do cabo é dado por:

l = s A + 2 s s

O termo 2 multiplicando s s se deve ao fato da geometria do problema, pois o cabo “vai e volta” nessa posição.

Passo 2

Sabemos também que o comprimento do cabo é sempre constante, logo, o que tivermos de variação em um lado, teremos no outro, só que no sentido oposto, logo:

∆ s A = - 2 ∆ s s

Sabendo que a variação total em A é igual a altura total:

2,4 = - 2 ∆ s s

∆ s s = - 1,2   m

Passo 3

Com isso, podemos agora aplicar a equação da conservação da energia mecânica para encontrar a extensão inicial da mola:

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

0 + 2 1 2 150 s 2 = 0 - 40 9,81 1,2 + 2 1 2 150 1,2 + s 2

150 s 2 = - 470,88 + 150 s 2 + 2,4 s + 1,44

s = 0,708   m

Resposta

s = 0,708   m

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