Enunciado

Um brinquedo em um parque de diversões consiste de um braço em rotação A B que tem uma aceleração angular α A B = 1   r a d / s 2 quando ω A B = 2   r a d / s no instante mostrado. Também nesse instante o carro montado na extremidade do braço que tem uma aceleração angular de α ' = - 0,6 k   r a d / s 2 e velocidade angular de ω ' = - 0,5 k   r a d / s , medida em relação ao braço. Determine a velocidade e a aceleração do passageiro em C nesse instante.

Passo 1

O exercício em questão envolve uma situação com um sistema em rotação e, logo, o movimento de um ponto em relação ao outro utilizando um sistema de eixos em rotação deve ser analisado. Como o ponto de interesse é o ponto C , e ele não possui todas as informações suficientes para cálculo, o que pode ser feito é a determinação das variáveis de posição, velocidade e aceleração do ponto B em relação a A e, por fim, fazer o mesmo processo para o ponto C em relação ao ponto B .

Então, a velocidade de C em relação a B será dada por:

v C = v B + Ω × r C / B + v C / B x y z

E a aceleração de C em relação a B é:

a C = a B + Ω ˙ × r C / B + Ω × Ω × r C / B + 2 Ω × v C / B x y z + a C / B x y z

Onde:

Ω velocidade angular do sistema de eixos x ,   y , z localizado no ponto de interesse em relação ao sistema de referência X ,   Y ,   Z de origem;

Ω ˙ aceleração angular do sistema de eixos x ,   y , z localizado no ponto de interesse em relação ao sistema de referência X ,   Y ,   Z de origem.

Passo 2

Fazendo o diagrama de corpo livre (DCL) será obtido:

Tal que a velocidade em B é:

v B = v A + v B / A = v A + ω A B × r B / A

E a aceleração é:

a B = a A + a B / A t + a B / A n = a A + α A B × r B / A - ω A B 2 r B / A

Em que os sufixos t e n indicam a aceleração tangente e a normal, respectivamente.

r B / A é o vetor posição de A até B que será:

r B / A = 3 cos ⁡ 30 ° i + 3 s e n 30 ° j = 2,598 i + 1,5 j   m

Considerando o ponto A como o centro instantâneo de velocidade nula, a sua velocidade e aceleração serão ambas nulas. Além disso, como o enunciado não fornece a aceleração angular do braço A B ela será considerada nula. Portanto, teremos:

v B = ω A B × r B / A = 2 k × 2,598 i + 1,5 j

v B = - 3 i + 5,196 j   m / s

E:

a B = α A B × r B / A - ω A B 2 r B / A = 1 k × 2,598 i + 1,5 j - 2 2 2,598 i + 1,5 j

a B = - 1 1,8 92 i - 3,402 j   m / s 2

Além disso, outro parâmetro que pode ser definido é a velocidade angular do referencial x , y , z em relação ao referencial X ,   Y ,   Z , tal que será dado pela soma das velocidades angulares envolvidas no problema:

Ω = ω A B + ω ' = 2 - 0,5 k = 1,5 k

E, similarmente, a aceleração angular do referencial x , y , z em relação ao referencial X ,   Y ,   Z será dada pela soma das acelerações angulares envolvidas no problema:

Ω ˙ = α A B + α ' = 1 - 0,6 k = 0,4 k

Passo 3

Sendo assim, tendo essas variáveis determinadas juntamente com os valores previamente fornecidos pelo exercício, se torna possível fazer o cálculo dos valores desejados no ponto C . Portanto, a velocidade em C será dada por:

v C = v B + Ω × r C / B + v C / B x y z

O vetor r C / B representa o vetor distância de B até C , ou seja:

r C / B = - 0,6 j   m

E, como o passageiro em C se encontra no mesmo brinquedo que possui o ponto B , eles se movem em conjunto com a mesma velocidade. Então, por isso a velocidade relativa entre esses dois pontos é nula, assim como a aceleração relativa.

Logo:

v C = - 3 i + 5,196 j + 1,5 k × - 0,6 j + 0

v C = - 2,1 i + 5,196 j   m / s

E:

a C = a B + Ω ˙ × r C / B + Ω × Ω × r C / B + 2 Ω × v C / B x y z + a C / B x y z

Dessa forma, será obtido:

a C = - 11,892 i - 3,402 j + 0,4 k × - 0,6 j + 1,5 k × 1,5 k × - 0,6 j + 0 + 0

a C = - 1 1,65 2 i - 2,052 j   m / s 2

Resposta

v C = - 2,1 i + 5,196 j   m / s

a C = - 11,652 i - 2,052 j   m / s 2

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