Enunciado

Um cabo de 50   k g está conectado entre dois pontos distantes 15   m entre si e com elevações iguais. Se a tração máxima desenvolvida no cabo é 375   N , determine o comprimento do cabo e a flecha.

Passo 1

Para um cabo sujeito ao próprio peso, nós temos que a tração no cabo pode ser escrita da seguinte forma:

T = F H c o s θ

onde F H representa a componente horizontal da força de tensão. Vamos reorganizar essa expressão para isolar o cosseno:

c o s θ = F H T

Para meio cabo, temos:

w o = 50 2 s = 25 s

De acordo com o triângulo formado pela corda e componente horizontal da tensão, representado acima, temos:

t a n θ m a x = w o s F H = 375 2 - F H 2 F H = 25 F H

25 = 375 2 - F H 2

25 2 = 375 2 - F H 2

F H 2 = 140000

F H = 374   N

Assim, o valor de s é igual a:

s = F H w o s e n h w o F H x

s = 374 25 s s e n h 25 s 374 1 5 2

s = 374 25 s s e n h 25 2 s ( 374 )

25 374 = s e n h 25 ( 15 ) s ( 374 )

25 ( 15 ) s ( 374 )   = s e n h - 1 25 374

Logo,

s = 7,5   m

w o = 25 7 , 5 = 3,33   N / m

O comprimento total do cabo é:

2 s = 15   m

Passo 2

Vamos agora determinar o tamanho da flecha do cabo. Agora que sabemos o valor da carga aplicada no cabo, podemos aplicar na equação da flecha:

h = F H w o cosh ⁡ w o L 2 F H - 1

h = 374 3,33 cosh ⁡ 3,33 15 2 374 - 1

h = 0,25   m

Resposta

O comprimento do cabo e sua flecha são iguais a:

2 s = 15   m

h = 0,25   m

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