Enunciado

O cabo AB não está esticado quando θ = 45º. Se uma carga vertical for aplicada à barra AC e provocar a mudança do ângulo para θ = 47º, determine a deformação normal no cabo.

Passo 1

Olá, querido! Cê tá bem? Então, ele quer saber a deformação normal de A B se uma carga for aplicada e mudar o ângulo θ = 45 ° para θ = 47 ° .

A fórmulinha da deformação normal é

ϵ = L A ' B - L A B L A B

Onde L A B é o comprimento inicial do cabo A B . Percebe que temos um triângulo retângulo ali na figura:

Então a gente pode achar esse l A B usando PItagoras:

L A B 2 = L 2 + L 2

L A B = L 2

Aí falta a achar o comprimento do cabo A B depois da deformação, que a gente chamou de L A ' B . A carga aplicada faz esse cabo aumentar, e por isso o ângulo θ muda. Aí a gente precisa achar o comprimento de A B depois dessa mudança para poder achar ϵ . Bora lá!

Passo 2

Então, antes da deformação, a nossa estrutura tinha essa cara:

Dela a gente pode tirar esse triâgulo:

Usando a famosa Lei dos Cossenos, podemos achar o valor do lado B C :

B C 2 = L 2 + L 2 2 - 2 × L × L 2 × cos ⁡ 135 º

B C 2 = L 2 + 2 L 2 - 2 L 2 2 × cos ⁡ 135 °

B C = L √ 5

Podemos também descobrir o ângulo do vértice B, também pela lei dos cossenos:

L 2 = L 2 2 + L 5 2 - 2 × L 2 × L 5 × cos ⁡ α

L 2 = 2 L 2 + 5 L 2 - 2 10 L 2 × cos ⁡ α

cos ⁡ α = 1 - 7 - 2 10 = 6 2 10 = 0,948

α = 18,435 °

Passo 3

E para que a gente achou essas coisas? Porque a gente quer o comprimento de A B depois que o ângulo θ muda, então é importante achar algumas medidas da nossa estrutura para o θ original.

Antes da deformação, nós temos a seguinte situação ali naquele triâgulo que a gente destacou:

Com a deformação, o ângulo θ que B A faz com a horizontal, passa de 45 º   para 47 º e A B aumenta. Repara o que acontece

Percebe que o segmento B C não muda de posição, porque os pontos B e C são fixos. E C A não muda de tamanho porque essa é uma barra rígida.

Então quando θ aumenta 2 ° , o ângulo de 18,435 ° vai para para 20,435 º , já que B C permanece na mesma orientação.

Passo 4

Aí dessa útima figura, podemos tirar esse triângulo:

Usando lei dos cossenos, podemos calcular o tamanho de BA’, que é o valor de A B depois da deformação

L 2 = L 5 2 + B A ' 2 - 2 × L 5 × B A ' × cos ⁡ 20,435 º

L 2 = 5 L 2 + B A ' 2 - 2 5 L × B A ' × cos ⁡ 20,435 °

B A ' 2 - 2 5 L c o s 20,435 º B A ' = L 2 - 5 L 2

B A ' 2 + - 4,19 L B A ' + 4 L 2 = 0

Chegamos, portanto, em uma equação de segundo grau... resolvendo ela, vamos ter:

Δ = 1,56 L 2

B A ' = 4,19 L ± 1,56 L 2 2

L A ' B = B A ' = 1,47 L

Passo 5

Como temos L A B e L A ' B , podemos calcular a deformação:

ϵ = L A ' B - L A B L A B

ϵ = 1,47 L - 2 L 2 L

ϵ = 0,039

Resposta

∈ = 0,039

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