Enunciado

O cabo suporta as três cargas mostradas. Determine a intensidade de P 1 se P 2 = 600   N e y B = 3 m . Determine também a flecha y D .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Temos aqui nesta questão um cabo submetido a três cargas concentradas de valores P 1 (queremos descobrir) e P 2 = 6 00   N . Além de termos que calcular o valor de P 1 , precisamos também determinar a flecha no ponto D .

Bom, esta questão dará um pouco de trabalho pois temos que utilizar o método dos nós para cada um dos pontos B , C e D .

Mas, para isto, vamos utilizar o fato de que as trações nas cordas estão na direção das mesmas!

Sendo assim, vamos para as contas.

Passo 2

Como o nosso objetivo é analisar o equilíbrio em torno de cada nó, vamos começar analisando o nó B . Esboçando o seu diagrama de corpo livre, temos:

Aplicando as equações de equilíbrio, temos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ T B C ⋅ 6 36 + 4 - y B 2 - T A B ⋅ 3 9 + y B 2 = 0 T A B ⋅ y B 9 + y B 2 - T B C ⋅ 4 - y B 36 + 4 - y B 2 - P 2 = 0

Da primeira equação obtemos que:

T A B = 2 9 + y B 2 36 + 4 - y B 2 T B C

Substituindo na segunda obtemos que:

T B C = P 2 36 + 4 - y B 2 3 y B - 4

Passo 3

Agora vamos repetir o procedimento para o nó C . Esboçando o seu diagrama de corpo livre, temos:

Aplicando as equações de equilíbrio, temos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ T B C ⋅ 6 36 + 4 - y B 2 - T C D ⋅ 6 36 + 4 - y D 2 = 0 T B C ⋅ 4 - y B 36 + 4 - y B 2 + T C D ⋅ 4 - y D 36 + 4 - y D 2 - P 1 = 0

Da primeira equação obtemos que:

T C D = T B C 36 + 4 - y D 2 36 + 4 - y B 2

Substituindo esta relação na segunda equação, obtemos:

T B C = P 1 36 + 4 - y B 2 8 - y B - y D

Passo 4

Agora vamos repetir o procedimento para o nó D. Esboçando o seu diagrama de corpo livre, temos:

Aplicando as equações de equilíbrio, temos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ T D E ⋅ 3 9 + 1 + y D 2 - T C D ⋅ 6 36 + 4 - y D 2 = 0 T D E ⋅ 1 + y D 9 + 1 + y D 2 - T C D ⋅ 4 - y D 36 + 4 - y D 2 - P 2 = 0

Da primeira equação obtemos que:

T D E = 2 T C D 9 + 1 + y D 2 36 + 4 - y D 2

Substituindo esta relação na segunda equação, obtemos:

T C D = P 2 36 + 4 - y D 2 3 y D - 2

Passo 5

Agora é só juntarmos todas as relações que nós obtivemos e resolvemos o sistema. Relembrando, temos:

T B C = P 2 36 + 4 - y B 2 3 y B - 4 T B C = P 1 36 + 4 - y B 2 8 - y B - y D T C D = T B C 36 + 4 - y D 2 36 + 4 - y B 2 T C D = P 2 36 + 4 - y D 2 3 y D - 2

Igualando as duas primeiras relações obtemos:

P 2 36 + 4 - y B 2 3 y B - 4 = P 1 36 + 4 - y B 2 8 - y B - y D ⟹ P 2 8 - y B - y D = P 1 3 y B - 4

600 8 - 3 - y D = P 1 3 ⋅ 3 - 4

5 P 1 + 600 y D = 3000

E assim temos uma equação que relaciona as duas incógnitas que queremos determinar. Agora, vamos analisar as duas últimas equações do sistema. Igualando-as, temos:

T B C 36 + 4 - y D 2 36 + 4 - y B 2 = P 2 36 + 4 - y D 2 3 y D - 2 ⟹ T B C = P 2 36 + 4 - y B 2 3 y D - 2

Mas, com esta nova equação, se igualarmos a primeira do sistema, temos:

P 2 36 + 4 - y B 2 3 y B - 4 = P 2 36 + 4 - y B 2 3 y D - 2 ⟹ 3 y B - 4 = 3 y D - 2

3 y D = 9 - 4 + 2

y D = 7 3   m

E assim descobrimos a nossa primeira incógnita! Substituindo na equação que relaciona P 1 e y D , temos:

P 1 = 3000 - 600 ⋅ 7 3 5 = 320   N

E assim finalizamos a questão!

Resposta

y D = 7 3   m

P 1 = 320   N

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