Enunciado

O cabo tem uma massa de 0,5   k g / m e possui 25 m de extensão. Determine as componentes vertical e horizontal da força que ele exerce no topo da torre.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Queremos determinar as componentes vertical e horizontal da força que ele exerce no topo da torre sendo que o cabo está sujeito ao próprio peso de w 0 = 0,5 ⋅ 9,81 = 4 , 9 05   N / m .

Bom, para que a gente possa determinar ambas as incógnitas, precisamos determinar as relações da equação da curva que define o cabo. E para isto, como o cabo está sujeito ao próprio peso, temos que começar resolvendo a seguinte integral:

x = ∫ d s 1 + 1 F H 2 ∫ w s d s 1 / 2

Para nossa alegria, já sabemos que o resultado da integração acima é:

x = F H w 0 senh - 1 ⁡ 1 F H w 0 s + C 1 + C 2

Passo 2

Agora temos que descobrir quem as constantes da nossa equação. Para isto, teremos que aplicar as condições de contorno do problema.

Fixando o sistema de coordenadas no ponto B , teremos as seguintes condições: s = 0 em x = 0 , s = 25 em x = 15 e d y d x s = 0 = tan ⁡ 30 ° . Só que possamos aplicar estas condições, temos que manipular as nossas relações

Vamos começar aplicando d y d x s = 0 = tan ⁡ 30 ° . Para isto, precisamos lembrar que:

d y d x = 1 F H ∫ w s d s

d y d x = 1 F H ∫ w 0 d s = 1 F H w 0 s + C 1

Sendo esse C 1 o mesmo da equação que obtivemos no Passo 1. Então, aplicando a condição, temos:

d y d x s = 0 = 1 F H w 0 ⋅ 0 + C 1 = tan ⁡ 30 ° ⟹ C 1 = F H tan ⁡ 30 °

Aplicando a condição que s = 0 quando x = 0 , temos:

0 = F H w 0 senh - 1 ⁡ 1 F H w 0 ⋅ 0 + F H tan ⁡ 30 ° + C 2 ⟹ senh - 1 ⁡ tan ⁡ 30 ° + C 2 = 0 ⟹ C 2 = - senh - 1 ⁡ tan ⁡ 30 °

E por fim, para que a gente possa aplicar a condição s = 25 em x = 15 . Esta condição vem do fato do cabo ter 25 m de extensão. Então, aplicando-o, temos:

15 = F H 4,905 senh - 1 ⁡ 1 F H 4,905 ⋅ 25 + F H tan ⁡ 30 ° - senh - 1 ⁡ tan ⁡ 30 °

Resolvendo iterativamente esta equação nós obtemos que F H = 73,9   N .

Passo 3

Agora já podemos partir para o cálculo da componente vertical no ponto A , pois a horizontal nós já obtivemos, e é exatamente F H = 73,9   N .

Já para a força vertical, vamos precisar da inclinação do cabo no ponto A . Então, precisamos calcular o valor de d y d x quando s = 25 .

Então, utilizando a relação desenvolvida no Passo 2, temos:

tan ⁡ θ A = d y d x s = 15 = 1 73,9 4,905 ⋅ 25 + 73,9 ⋅ tan ⁡ 30 ° = 2,236

E a componente vertical será:

F V = F H ⋅ tan ⁡ θ A = 165,3   N

E assim finalizamos a questão!

Resposta

F V = 165,3   N

F H = 73,9   N

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os diagramas de esforço cortante e de momento fletor para a viga.
Determine o esforço cortante e o momento fletor como uma função de x , onde 0 ≤ x3m e 3m ≤ x ≤ 6m , e depois contrua os diagramas de esforço cortante e de momento.
Determine os diagramas de esforço cortante e de momento fletor para a viga.
Determine os diagramas de esforço cortante e de momento fletor para a viga.
Determine o esforço cortante e o momento fletor como uma função de x , onde 0 ≤ x3m e 3m ≤ x ≤ 6m , e depois contrua os diagramas de esforço cortante e de momento fletor.