Enunciado

O cabo tem uma massa por unidade de comprimento de 10   k g / m . Determine o comprimento total L mais curto do cabo que pode ser suspenso em equilibro.

Passo 1

O problema quer que a gente encontre o comprimento total L mais curto do cabo que pode ser suspenso em equilibro.

Vamos começar fazendo um diagrama de corpo livre, assim:

Onde o carregamento pode ser descrito como:

w s = 10 ( 9,81 ) = 98,1   k N / m

Percebeu aí que o problema não deu o peso por unidade de comprimento e sim a massa, por isso eu multipliquei pela gravidade, cuidado com isso, as vezes aparece.

Passo 2

Nós notamos que ( 0,0 ) na figura do problema, é o ponto mais baixo do cabo, vamos pegar a segunda derivada da equação do cabo, logo:

d 2 y d 2 x = w ( s ) F H = 98,1 F H 1 + d y d x 2

Se nós consideramos u = d y d x , então d u d x = d 2 y d 2 x , logo:

d u d x = d y 1 + u 2 = 98,1 F H d x

E integrando isso:

ln ⁡ u + 1 + u 2 = 98,1 F H x + C 1

Vamos encontrar C 1 , pra isso a gente usa a condição inicial, de que na origem, d y d x = 0 e x = 0 então:

0 = 98,1 F H ( 0 ) + C 1

Logo C 1 é igual a 0 .

Ficamos com:

ln ⁡ u + 1 + u 2 = 98,1 F H x

Agora, vamos dar uma ajeitada e tentar simplicar isso, calma, eu sei que parece muito estranho:

u + 1 + u 2 = e 98,15 F H x

d y d x = u = e 98,1 F H x - e - 98,1 F H x 2

Agora lembra que sinh ⁡ x = e x - e - x 2 , aí ficamos com:

d y d x = sinh ⁡ 98,1 F H x

Passo 3

Vamos agora pegar o diagrama do corpo livre, assim:

E usamos as equações de equilíbrio nos dois eixos:

x →   T cos ⁡ θ - F H = 0

y →   T sen ⁡ θ - 10 ( 9,81 ) s = 0

Eliminando T , temos:

d y d x = tan ⁡ θ = 98,1 s F H

Então igualamos a equação derivada:

98,1 s F H = sinh ⁡ 98,1 F H x

Assim encontramos:

s = F H 98,1 sinh ⁡ 98,1 F H

O comprimento do cabo entre A e B e dado por:

L ' = 2 F H 98,1 sinh ⁡ 98,1 F H 4

L ' = 0,2039 F H sinh ⁡ 392,4 F H

Então, o comprimento do cabo pendurado é:

L - L ' = L - 0,2039 F H sinh ⁡ 392,4 F H

A tração do cabo em B é igual ao peso do cabo que está pedurado, concorda comigo? Então, fica:

T B = 10 9,81 L - 0,2039 F H sinh ⁡ 392,4 F H

T B = 98,1 L - 2 F H sinh ⁡ 392,4 L H

Agora, calculamos o ângulo que o cabo faz em relação a horizontal em B :

tan ⁡ θ B = sinh ⁡ 98,1 F H 4 = sinh ⁡ 392,4 F H

Agora, calculamos o ângulo:

cos ⁡ θ B = 1 1 + sinh 2 ⁡ 392,4 F H

Logo:

T B = F H cos ⁡ θ B = F H 1 + sinh 2 ⁡ 392,4 F H

Passo 4

Combinando as equações:

T B = 98,1 L - 2 F H sinh ⁡ 392,4 L H

T B = F H 1 + sinh 2 ⁡ 392,4 F H

A gente encontra que:

F H 1 + sinh 2 ⁡ 392,4 F H = 98,1 L - 2 F H sinh ⁡ 392,4 L H

L = 1 98,1 F H 1 + sinh 2 ⁡ 392,4 F H + 2 F H sinh ⁡ 392,4 L H

Sabendo que cosh 2 ⁡ x = 1 + sinh 2 ⁡ x , a gente pode escrever:

L = 1 98,1 F H cosh ⁡ 392,4 F H + 2 F H sinh ⁡ 392,4 F H

Passo 5

Então agora, derivamos o comprimento em relação a F H , é mais simples do que parece:

d L d F H = 0 = sinh ⁡ 392,4 F H 2 - 392,4 F H + cosh ⁡ 392,4 F H 1 - 784,8 F H  

0 = tanh ⁡ 392,4 F H 2 F H - 392,4 + ( F H - 784,8 )

Resolendo por tentativa e erro, encontramos:

F H = 438,7   N

Por ultimo substituímos F H na equação que já tínhamos encontrado para o comprimento, lembra?

L = 1 98,1 ( 438,7   ) cosh ⁡ 392,4 438,7 + 2 ( 438,7   ) sinh ⁡ 392,4 ( 438,7   )

Assim, temos como resposta:

L = 15,5   m

Resposta

F H = 438,7   N

L = 15,5   m

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