Enunciado

O cabo de transmissão de energia tem um peso por unidade de comprimento de 0,25   k N / m . Se o ponto mais baixo do cabo precisa estar pelo menos 30   m acima do solo, determine a tração máxima desenvolvida no cabo e o comprimento do cabo entre A e B .

Passo 1

O problema quer que a gente encontre a tração máxima no cabo e comprimento do cabo entre A e B .

Vamos começar fazendo um esqueminha, assim:

Onde o carregamento pode ser descrito como:

w s = 0,25   k N / m

Passo 2

Nós notamos que ( 0,0 ) na figura do problema, é o ponto mais baixo do cabo.

Escolhemos posicionar nosso cabo de forma muito estratégica em relação ao eixos coordenados. Para essa situação, que a gente fez no diagrama, esse referencial, temos que em x = 0 e s = 0 a gente tem a inclinação do cabo

d y d x = 0

E temos também que em x = 0 , nosso eixo y vale y = 0 . Para essa situação e como temos um cabo que suporta apenas o seu peso, valem as relações:

d y d x =   s e n h w 0 F H x

y = F H w 0 cosh ⁡ w 0 F H x - 1

Onde F H é a componente horizontal da tração no cabo em todos os pontos e w o é o peso do nosso cabo. Substituindo o que o enunciado deu, ficamos com:

d y d x = sinh ⁡ 0,25 F H x

y = F H 0,25 cosh ⁡ 0,25 F H x 0 - 1

Agora, testamos a função em pontos conhecidos, que são y = 10 quando x = x 0 e y = 30 quando x = - ( 100 - x 0 ) :

10 = F H 0,25 cosh ⁡ 0,25 F H x 0 - 1

30 = F H 0,25 cosh ⁡ - 0,25 F H ( 100 - x 0 ) - 1

Calculando essa duas equações como um sistema de duas variáveis, encontramos:

F H = 17,61   k N

x 0 = 37,1   m

Passo 3

A maior tensão irá acontecer em A , porque a gente percebe que ele tem o maior ângulo, então vamos calcular o ângulo dele. A coordenada dele é

x = - 100 - x 0 = - 100 + x 0 = - 100 + 37,1

Lembra, a derivada é a tangente do ângulo em um ponto de uma função. Nossa derivada é

d y d x = sinh ⁡ 0,25 F H x

Aí o ângulo no ponto A   é:

θ m a x = tan - 1 ⁡ d y d x = tan - 1 ⁡ sinh ⁡ 0,25 17,61 - 100 + 37,1 = 45,47 °

Logo, a tração máxima será:

T m a x = F H cos ⁡ θ m a x = 17,61 cos ⁡ 45,47 ° = 25,11   k N

Passo 4

Vamos agora pegar o diagrama do corpo livre de um pedacinho da corda, assim:

Lembrando que F H é a compoente horizontal da força de tração em qualquer lugar. Aí ela aparece ali onde θ = 0 .

E usamos as equações de equilíbrio nos dois eixos:

x →   T cos ⁡ θ - 17,61 = 0

y →   T sen ⁡ θ - 0,25 s = 0

Eliminando T , aparece a tangente que faz a aparecer a derivada:

d y d x = tan ⁡ θ = 0,25 s 17,61

Então igualamos a equação derivada:

0,25 s 17,61 = sinh ⁡ 0,25 17,61 x

Assim encontramos:

s = 17,61 0,25 sinh ⁡ 0,25 17,61 x

O comprimento do cabo é dado por:

L = s B - s A

L = 70,44 sinh ⁡ 0,25 17,61   37,1 - 70,44 sinh ⁡ 0,25 17,61   - 100 + 37,1

L = 110 , 4 3   m

Resposta

F H = 17,61   N

L = 110 , 4 3   m

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Determine a força normal, a força cortante e o momento fletor interno nos pontos DeE da estrutura.
Determine a força normal, a força cortante e o momento fletor interno como uma função de 0 ° ≤ θ ≤ 180 ° e 0 ≤ y ≤ 0,6 m para o membro carregado conforme mostrado.
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