Enunciado

Cada um dos blocos quadrados maciços pode tombar girando no sentido horário a partir das posições de repouso mostradas. O suporte em O no caso (a) é uma rótula e no caso (b) é um pequeno rolete. Determine a velocidade angular ω de cada bloco quando o lado O C se torna horizontal pouco antes de atingir a superfície de apoio

Passo 1

Para a letra (a), vamos precisar aplicar a lei de conservação de energia. A única força que atua no sistema é a gravitacional, que corresponde à energia potencial gravitacional, portanto:

∆ T + ∆ U g = 0

A energia cinética inicial é zero pois o bloco parte do repouso, e a final será:

T = T f = 1 2 I O ω 2

A energia potencial gravitacional será zero no final, pois vamos colocar a altura do centro de massa do bloco no momento final, exatamente no zero da coordenada y, sobrando apenas a energia inicial:

U g i = U g = - m g h

A equação de conservação fica:

1 2 I O ω 2 - m g h = 0

Passo 2

Precisamos agora determinar o momento de inercia do bloco em relação ao eixo que passa no ponto O, para isso, vamos usar o teorema dos eixos paralelos:

I O = I G + m R 2

I G = 1 6 m l 2

I O = 1 6 m l 2 + m c 2

Onde l é o lado do quadrado e R será a distancia até o ponto O, dado pelo valor de um dos catetos formados entre o vértice do losango e o centro de massa ( a hipotenusa é um dos lados do losango):

0.25 m = c 2 + c 2 = 2 c

0.25 m = c 2 + c 2 = 2 c

c = 0,25 m 2

E a altura do bloco no momento inicial será:

h = 0.25 m 1 2 - 1 2 = 0.05178 m

O último termo da diferença será a metade do valor de um dos lados, que é a posição do centro de massa após o bloco rotacionar, e o primeiro termo, será o valor do cateto que o centro de massa forma com o vértice do losango.

Passo 3

Substituindo os valores na equação de conservação para encontrarmos ω :

1 2 1 6 m l 2 + m c 2 ω 2 - m g h = 0

ω 2 = 2 m g h 1 6 m l 2 + m c 2

ω 2 = 2 g h 1 6 l 2 + c 2

ω = 4.94   r a d / s

Passo 4

No caso da letra (b), o rolete irá deslizar para a esquerda caso o bloco rotacione para a direita, então a velocidade do centro de massa irá permanecer vertical, dessa forma, podemos escrever a velocidade do centro de massa como a velocidade do ponto O em relação ao centro de massa:

v - = v O / G 2

Sendo que:

v O / G = r - ω

Ou seja, o ponto O girou em relação ao referencial no centro de massa, e a distancia r - é a distancia entre o centro de massa e o ponto O (que é o mesmo c q calculamos antes. Ficamos com:

v - = c ω 2 = 0.125 m ω

Passo 5

E agora aplicamos novamente a lei de conservação de energia, utilizando as mesmas ideias anteriormente, mas agora, com a energia cinética do movimento do centro de massa:

1 2 m ( 0.125 m ω ) 2 + 1 2 I G ω 2 - m g h = 0

Perceba que o momento de inercia não será mais em relação ao ponto O, pois já consideramos o seu movimento na energia cinética translacional.

Isolando ω e cortando as massas (o m que acompanha o 0.016 é metros):

1 2 ω 2 0.016 m 2 + 1 6 l 2 = g h

ω = 2 g h 0.016 m 2 + 1 6 l 2

ω = 6.20   r a d / s

Resposta

( a ) ω = 4.94   r a d / s

( b )   ω = 6.20   r a d / s

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