Enunciado

Desenvolva a equação diferencial para pequenas oscilações do pêndulo sob a ação das molas e determine o período τ . A posição de equilíbrio é vertical como indicada. A massa da haste é desprezível.

Passo 1

Vamos criar uma equação diferencial que dependa do ângulo θ da oscilação do pêndulo.

A melhor forma de fazer isso é escrevendo uma equação de momentos em torno do ponto O :

∑ M O = I O θ ¨

Onde θ ¨ é a aceleração ângular associada ao ângulo θ , e I é o momento de inércia do pêndulo simples:

∑ M O = m l 2 θ ¨

Vamos fazer um diagrama de um instante em que o pêndulo está deslocado por um pequeno ângulo θ :

Nesse caso estamos considerando que as molas permanecem na horizontal, o que é uma aproximação razoável para ângulos pequenos.

Passo 2

Para escrever os módulos das forças F 1 e F 2 , precisamos encontrar uma expressão para a distorção Δ x das molas:

F 1 = F 2 = F = k Δ x

E as duas forças sempre apontam na mesma direção, e tem o mesmo módulo, já que a distorção das duas molas é sempre igual.

Olhando para o desenho do enunciado, vemos que as molas estão presas no cabo a uma distância b do ponto O , então:

Δ x = b sin ⁡ θ

Agora podemos completar nossa equação de momentos:

∑ M O = - 2 k b sen ⁡ θ b cos ⁡ θ - m g sen ⁡ θ l

E o sinal negativo aparece porque esses momentos agem no sentido que diminui θ .

- 2 k b sen ⁡ θ b cos ⁡ θ - m g sen ⁡ θ l = m l 2 θ ¨

Para ângulos pequenos, podemos substituir cos ⁡ θ ≅ 1 e sen ⁡ θ ≅ θ , então:

- 2 k b 2   θ - m g l sen ⁡ θ = m l 2   θ ¨

Dividindo tudo por m l 2 , ficamos com a seguinte equação:

θ ¨ + 2 k b 2 m l 2 + g l θ = 0

Passo 3

Para encontrar o período a partir dessa equação, temos que nos lembrar da forma geral de uma equação de oscilador harmônico:

θ ¨ + ω 2 θ = 0

Onde ω é a frequência angular. Comparando com a nossa equação do passo anterior, vemos que:

ω 2 = 2 k b 2 m l 2 + g l

E a relação entre ω e o período τ é a seguinte:

ω = 2 π τ

Então:

4 π 2 τ 2 = 2 k b 2 m l 2 + g l

τ = 2 π 2 k b 2 m l 2 + g l

Resposta

A equação é θ ¨ + 2 k b 2 m l 2 + g l θ = 0 e o período é τ = 2 π 2 k b 2 m l 2 + g l .

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