Enunciado

Cada uma das cinco colunas mostradas consiste de uma barra maciça de aço. Pede-se(a) sabendo-se que a coluna da Fig(1) tem 20mm de diâmetro, determinar o coeficiente de segurança em relação a flambagem para o comprimento mostrado;(b) determinar o diâmetro em cada uma das outras estruturas, para que o coeficiente de segurança seja o mesmo que o coeficiente de segurança obtido na parte a. Usar E=200GPa.

Passo 1

E aí, vamo partir pra esse item b?

Bom, com o fator de segurança encontrado a gente pode seguir, aqui a gente precisa do diâmetro de cada uma das colunas, aqui a gente vai usar a fórmula do peso crítico considerando o coeficiente de flambagem que é dada por:

P C R = π 2 E I K L 2

O diâmetro está implícito no momento de inércia que pra seção circular é dado por:

I = π d 4 64

E após isso comparar com o peso admissível lembrando que:

P A D M = P 0 = P C R F S

Para encontrar cada um dos coeficientes vamos analisar as condições de contorno de cada uma das 4 colunas olhando pra figura.

Os retângulos azuis indicam onde estão os engastes, a elipse vermelha indica um apoio do tipo pino e a elipse amarela indica um rolete ou carrinho o círculo verde mostra a extremidade livre. Então vamos a análise para encontrarmos os coeficientes de flambagem K .

(2) Possui uma extremidade engastada e outra livre o que configura um coeficiente K 2 = 2,0 .

(3) Possui duas extremidades engastadas o que nos dá um coeficiente K 3 = 0,5 .

(4) Possui uma extremidade engastada e outra rotulada o que configura um coeficiente K 4 = 0,7 .

(5) Possui uma extremidade engastada e outra com um rolete o que configura um coeficiente K 5 = 1,0 .

Passo 2

Bom, com a análise feita podemos pensar numa boa relação pro diâmetro, como o fator de segurança vai ser o mesmo para cada coluna e temos o mesmo peso admissível, a gente vai ter o mesmo peso crítico e podemos então encontrar uma relação para o momento de inércia e no fim alterar os valores de K para cada caso.

P C R = π 2 E I K L 2

Isolando o I, teremos:

I = P C R × K L 2 π 2 E

E sabemos que:

P C R = F S × P 0

Então:

I = F S × P 0 × K L 2 π 2 E

E aqui tem uma parada interessante, como tooodos os valores são os mesmos exceto o valor de I e K , podemos dizer que há uma relação entre I 1 e os demais, e como K 1 = 1,0   podemos dizer que:

I N = I 1 × K N 2

Passo 3

Agora que encontramos a fórmula que relaciona os momentos de inércia podemos ganhar um bom tempo na nossa resolução, então vamos partir para o cálculo dos diâmetros.

Lembrando que:

I 1 = 7,854 × 10 3 m m 4

Então temos para a coluna 2 que possui K 2 = 2,0 :

I 2 = 7,854 × 10 3 × 2 2 = 31,416 × 10 3 m m 4

E para achar o diâmetro isolamos da seguinte forma:

d = 64 × I π 4

Daí, temos:

d 2 = 64 × 31,416 × 10 3 π 4 = 28,3 m m

Seguindo para as outras colunas vamos fazer o mesmo processo, e para coluna 3 que possui K 3 = 0,5 .

I 3 = 7,854 × 10 3 × 0,5 2 = 1,964 × 10 3 m m 4

E pela relação encontrada pro diâmetro podemos dizer que:

d 3 = 64 × 1,964 × 10 3 π 4 = 14,14 m m

Para coluna 4 que possui K 3 = 0 , 7 .

I 3 = 7,854 × 10 3 × 0 , 7 2 = 3,84 × 10 3 m m 4

E pela relação encontrada pro diâmetro podemos dizer que:

d 4 = 64 × 3,84 × 10 3 π 4 = 1 6,72 m m

E como a última coluna possui as mesmas condições de contorno da primeira, mesmo comprimento tipo de seção e também é feita do mesmo material podemos dizer que:

d 5 = d 1 = 20 m m .

Resposta

(b) d 2 = 28,3 m m

d 3 = 14,14 m m

d 4 = 16,72 m m

d 5 = d 1 = 20 m m .

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