Enunciado

Cada uma das duas barras esbeltas uniformes O A e B C possui uma massa de 8   k g . As barras estão soldadas em A para formar um elemento com formato de T e estão girando livremente em torno de um eixo horizontal através de O . Se as barras têm uma velocidade angular ω de 4   r a d / s quando O A passa pela posição horizontal mostrada, calcule a força total R suportada pelo mancal em O .

Passo 1

Vamos começar calculando o momento de inércia do sistema em relação ao ponto O :

I O = I h o r i z o n t a l + I v e r t i c a l

O momento de inércia da barra horizontal em relação ao ponto O é:

I h o r i z o n t a l = 1 3 m l 2

Já para o momento da barra vertical, precisamos usar o teorema dos eixos paralelos e notar que o centro de massa está a uma distância d = l do ponto:

I v e r t i c a l = I c m + m d 2

I v e r t i c a l = 1 12 m l 2 + m l 2

Então o momento de inércia total é:

I O = 1 3 m l 2 + 1 12 m l 2 + m l 2 = 1 3 + 1 12 + 1 m l 2

I O = 17 12 m l 2 = 17 12 8 0,5 2 = 2,83   k g ∙ m 2

Passo 2

Podemos aproveitar isso para calcular a aceleração angular do sistema:

∑ M O = I O α

Nesse caso, os únicos torques são produzidos pelos pesos das barras, um agindo no centro de massa da barra horizontal (a 0,25   m do ponto O ), e o outro agindo no centro de massa da barra vertical (a 0,50   m do ponto O ):

∑ M O = m g 0,25 + 0,50 = 58,86   N ∙ m

E então:

α = ∑ M O I O = 58,86 2,83 = 20,8   r a d / s 2

Passo 3

Agora podemos usar a segunda lei de Newton nas direções tangencial e normal para encontrar a força em O t .

Começando pela direção tangencial:

∑ F t = ∑ m a t

A aceleração tangencial de cada centro de massa é a t = r c m α , então:

∑ F t = ∑ m r c m α

E as forças que agem nessa direção (que é vertical para baixo no instante inicial) são apenas os pesos e a força R t que queremos calcular:

2 m g - R t = 8 20,8 0,25 + 0,50

R t = 2 8 9,81 - 8 20,8 0,75 = 32,2   N

Passo 4

Agora vamos analisar a direção normal:

∑ F n = ∑ m r c m ω 2

A única força agindo nessa direção é R n , e a velocidade angular foi dada no enunciado:

R n = 8 4 2 0,25 + 0,50

R n = 96,0   N

E então o módulo da força total que age no mancal é:

R = R n 2 + R t 2

R = 96,0 2 + 32,2 2 = 101,3   N

Resposta

A força total suportada pelo mancal é R = 101,3   N .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A chapa de aço uniforme de 20k g é livremente articulada em torno do eixo z como mostrado. Calcule a força suportada por cada um dos mancais em A e B imediatamente após a chapa ser liberada a partir d
A metade de um anel de massa m e raio r está soldada a um pequeno eixo horizontal montado em um mancal conforme apresentado. Despreze a massa do eixo e determine a aceleração angular do anel quando um
A barra esbelta de 750m m possui uma massa de 9k g e está montada em um eixo vertical que passsa por O . Se um torque M = 10N m é aplicado à barra por meio de seu eixo, calcule a força horizontal R no
O cilindro maciço homogêneo tem uma massa de 150k g e está livre para girar em torno do eixo horizontal O - O . Se o cilindro, inicialmente em repouso, recebe a ação da força de 400N mostrada, calcule
Determine a aceleração angular e a força no mancal em O para (a) o anel fino de massa m , e (b) o disco circular plano de massa m imediatamete apó cada um deles ser liberado a partir do repouso no pla