Enunciado

A caixa de tamanho desprezível está deslizando para baixo ao longo de uma trajetória curva definida pela parábola y = 0,4   x 2 . Quando ela está em A ( x A = 2   m ,   y A = 1,6   m ) , a velocidade escalar é v B = 8   m / s e o aumento na velocidade escalar é d v B / d t = 4   m / s 2 . Determine a intensidade da aceleração da caixa nesse instante.

Passo 1

Precisamos determinar a intensidade da aceleração. Como já nos foi dado a sua componente tangencial, só precisamos calcular a sua componente normal. Mas aí a gente se questiona: e cadê o raio de curvatura? Este é o ponto mais difícil da questão. Para calcularmos o raio de curvatura, será necessário utilizarmos a seguinte equação:

ρ = 1 + d y d x 2 3 / 2 d 2 y d x 2

Obtido a função para o raio da curvatura, basta substituir o valor de x = 2 que obtemos o raio. Depois disto, basta utilizar as equações da cinemática para determinarmos a aceleração.

Passo 2

Antes de calcularmos a componente normal, precisamos determinar o raio de curvatura. Para isto, utilizaremos a fórmula do Passo 1. Primeiramente, derivaremos a função que governa a nossa curva duas vezes. Sendo assim:

y ' = d y d x = 0,8 x

y ' ' = d 2 y d x 2 = 0,8

Substituindo na fórmula do raio de curvatura, temos:

ρ = 1 + 0,8 x 2 3 / 2 0,8

Quando x = 2 , temos:

ρ = 8,4   m

Passo 3

Agora, para calcularmos as componentes da aceleração, podemos substituir os valores diretamente nas suas equações. Como o termo tangencial já foi dado e é igual a a t = 4   m / s 2 , calcularemos a componente normal. Sendo assim, temos:

a n = v 2 ρ = 8 2 8,4 = 7,6   m / s 2

Portanto, calculando a intensidade da aceleração, temos:

a = a n 2 + a t 2

a = 7,6 2 + 4 2

a = 8,6   m / s 2

Resposta

a = 8,6   m / s 2

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