Enunciado

Uma curva de transição em espiral é usada em ferrovias para ligar uma porção reta da linha férrea com uma porção curva. Se a espiral é definida pela equação y = 9 10 - 6 x 3 , onde x e y estão em metros, determine a intensidade da aceleração de uma locomotiva se movendo com uma velocidade escalar constante de 12   m / s quando ela está no ponto x = 180   m .

Passo 1

Precisamos determinar a intensidade da aceleração. Como já nos foi dado a sua componente tangencial, só precisamos calcular a sua componente normal. Mas aí a gente se questiona: e cadê o raio de curvatura? Este é o ponto mais difícil da questão. Para calcularmos o raio de curvatura, será necessário utilizarmos a seguinte equação:

ρ = 1 + d y d x 2 3 / 2 d 2 y d x 2

Obtido a função para o raio da curvatura, basta substituir o valor de x = 180 que obtemos o raio. Depois disto, basta utilizar as equações da cinemática para determinarmos a aceleração.

Passo 2

Antes de calcularmos a componente normal, precisamos determinar o raio de curvatura. Para isto, utilizaremos a fórmula do Passo 1. Primeiramente, derivaremos a função que governa a nossa curva duas vezes. Sendo assim:

y ' = d y d x = 18 10 - 6 x 2

y ' ' = d 2 y d x 2 = 36 10 - 6 x

Substituindo na fórmula do raio de curvatura, temos:

ρ = 1 + 18 10 - 6 x 2 2 3 / 2 36 10 - 6 x

Quando x = 180 , temos:

ρ = 1 + 0,5832 2 3 / 2 0,00648

ρ = 239,4   m

Passo 3

Agora, para calcularmos as componentes da aceleração, podemos substituir os valores diretamente nas suas equações. Como o termo tangencial já foi dado e é igual a a t = 0   m / s 2 , pois a velocidade é constante, calcularemos a componente normal. Sendo assim, temos:

a n = v 2 ρ = 12 2 239,4 = 0,6   m / s 2

Portanto, calculando a intensidade da aceleração, temos:

a = a n 2 + a t 2

a = 0,6 2 + 0 2

a = 0,6   m / s 2

Resposta

a = 0,6   m / s 2

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