Enunciado

A caixa uniforme tem uma massa de 50 kg e repousa sobre o carrinho tendo uma superfície inclinada. Determine a menor aceleração que vai fazer com que a caixa tombe ou deslize em relação ao carrinho. Qual é a intensidade dessa aceleração? O coeficiente de atrito estático entre a caixa e o carrinho é μ s = 0,5 .

Passo 1

Para a resolução desse exercício, iremos adotar a aceleração da gravidade local g = 9,81 m/s².

Vamos assumir inicialmente que a caixa irá deslizar sobre a superfície, logo, a força de atrito é dada por:

F A = μ s N = 0,5 N

Sendo assim, podemos aplicar os somatórios de momento e de forças no sistema. Para facilitar os cálculos e a análise, o somatório de forças será feito no eixo x’ e y’ inclinados de 15° cada, para que fiquem na direção e normal, respectivamente, à superfície inclinada, conforme a figura que segue:

Passo 2

O somatório de momento será aplicado em torno de um ponto A (que será o ponto de apoio da caixa) a partir de uma distância x (ainda desconhecida) do centro da caixa,

↺ + ∑ M A = M k A

50 9,81 c o s 15 ° x - 50 9,81 s e n 15 ° 0,5 = 50 a c o s 15 ° 0,5 + 50 a s e n 15 ° ( x )

Agora, aplicaremos o somatório de forças nos eixos x’ e y’:

+ ↘ ∑ F x ' = m a G x '

50 9,81 s e n 15 ° - 0,5 N = - 50 a c o s 15 °

+ ↗ ∑ F y ' = m a G y '

N - 50 9,81 c o s 15 ° = - 50 a s e n 15 °

Passo 3

Agora, resolveremos o sistema de equações isolando N da terceira equação e substituindo na segunda equação do passo 2, obtemos:

50 9,81 s e n 15 ° - 0,5 N = - 50 a c o s 15 °

50 9,81 s e n 15 ° - 0,5 ( 473,787 - 12,94 a ) = - 50 a c o s 15 °

54,766 a = 109,943

a = 2,01   m / s 2

Agora, substituindo o valor da aceleração na primeira equação, obtemos o valor de x:

50 9,81 c o s 15 ° x - 50 9,81 s e n 15 ° 0,5 = 50 a c o s 15 ° 0,5 + 50 a s e n 15 ° ( x )

50 9,81 c o s 15 ° x - 50 9,81 s e n 15 ° 0,5 = 50 2,01 c o s 15 ° 0,5 + 50 2,01 s e n 15 ° ( x )

x = 0,25   m

Portanto, como x

Resposta

a = 2,01   m / s 2

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