Enunciado

As caixas A e B pesam 1000   N e 750   N , respectivamente. Elas estão conectados por um cabo e colocadas no plano inclinado. Se o ângulo θ for aumentado gradualmente, determine θ quando as caixas começarem a deslizar. Os coeficientes de atrito estático entre as caixas e o plano são μ A = 0,25 e μ B = 0,35 .

Passo 1

O problema pede que encontremos o ângulo máximo antes do movimento.

Beleza, vamos começar fazendo um diagrama de corpo livre em A , e vamos decompor a força Peso, assim:

Primeiro a gente pega as forças perpendiculares ao plano inclinado:

P y - N A = 0

P ⋅ cos ⁡ θ - N A = 0

N A = 1000 ⋅ cos ⁡ θ

Bom, você já deve saber, mas o atrito age em relação a normal, então a gente multiplica a normal com o coeficiente de atrito:

F A a t m a x = N A ⋅ μ A

F A a t m a x = 1000 ⋅ cos ⁡ θ ⋅ 0 , 2 5

F A a t m a x = 25 0 ⋅ cos ⁡ θ

E a gente está estudando um corpo em equilíbrio, né?

Pois, a gente percebe que P y tem que ser igual ao atrito somado com a tração da corda, aí você pensa que complica mas calma aí e vamos para matemática que vai ficar mais fácil:

P y = F A a t m a x + T

1000 sen ⁡ θ = 25 0 cos ⁡ θ + T

1000 sen ⁡ θ - 250 cos ⁡ θ - T = 0

Ainda não parece muito mais fácil eu sei, mas espera mais um pouco, a gente já tem uma equação com duas variáveis, vamos pro outro bloco pra ver o que a gente encontra.

Passo 2

Então, agora partiu bloco B :

A gente faz do mesmo jeito:

P y - N B = 0

P ⋅ cos ⁡ θ - N B = 0

N B = 750 ⋅ cos ⁡ θ

Então a gente já calcula logo o atrito em B :

F B a t = N B ⋅ μ B

F B a t = 75 0 cos ⁡ θ ⋅ 0 , 3 5

F B a t = 262,5 cos ⁡ θ

Vamos ver se a resultante do peso paralela a inclinação agora pra ver se a gente acha outra equação pra usar:

P y + T = F B a t

750 sen ⁡ ( θ ) + T = 262,5 cos ⁡ ( θ )

750 sen ⁡ ( θ ) + T - 262,5 cos ⁡ θ = 0

E encontramos mesmo.

Passo 3

Então vamos montar um sistema com as equações:

1000 sen ⁡ θ - 250 cos ⁡ θ - T = 0 750 sen ⁡ θ + T - 262,5 cos ⁡ θ = 0

Então somando as duas, a gente encontra:

1750 sen ⁡ θ - 512,5 cos ⁡ θ = 0

1750 sen ⁡ θ = 512,5 cos ⁡ θ

tan ⁡ θ = 512,5 1750

Usando a função inversa trigonométrica na calculadora pra encontrar o ângulo θ :

θ = 16,32 °

Resposta

θ = 16,32 °

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