Enunciado

Calcule a distância d a partir do centro do Sol na qual uma partícula experimenta atrações iguais da Terra e do Sol. A partícula está restrita à linha que une os centros da Terra e do Sol. Justifique as duas soluções fisicamente.

Passo 1

Como estamos lidando com três corpos (a partícula, o sol e a Terra), é uma boa ideia definir um referencial:

Onde r T S é a distância entre os centros da Terra e do Sol, e x é a distância da partícula até o centro do Sol.

E vamos lembrar da fórmula para a força gravitacional:

F = G m 1 m 2 r 2

Passo 2

Escrevendo e igualando as forças entre os pares partícula-Terra e partícula Sol, ficamos com a seguinte equação:

G m M S x 2 = G m M T r T S - x 2

Vamos dividir os dois lados por G m e reorganizar a equação:

M S r T S - x 2 = M T x 2

M S r T S 2 - 2 x r T S + x 2 = M T x 2

x 2 M S - M T - x 2 r T S M S + M S r T S 2 = 0

Agora podemos substituir os valores numéricos das massas e distância.

M S ≅ 1,99.10 30   k g

M T = 5,98.10 24

r T S = 150.10 9   m

Passo 3

É importante resolver essa equação na calculadora sem arredondar os valores, uma vez que estamos lidando com valores em ordens de grandeza muito variadas, e arredondamentos podem fazer muita diferença.

Aplicando a fórmula de Bháskara na equação quadrática:

x 2 M S - M T - x 2 r T S M S + M S r T S 2 = 0

E as duas soluções são:

x 1 = 149,3.10 9   m

x 2 = 149,9.10 9   m

E esses são os possíveis valores para a distância d a partir do centro do Sol.

É natural que haja duas soluções, uma vez que a força da gravidade decai com o quadrado da distância. Fisicamente, isso nos diz que uma distância reduzida pode “compensar” as diferenças nas massas do Sol e da Terra, produzindo dois pontos de equilíbrio.

Resposta

As distâncias possíveis são 149,3.10 9   m e 149,9.10 9   m .

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