Enunciado

A haste do magnetômetro de uma nave espacial é constituída por um grande número de unidades com formato triangular que emergem para sua configuração de operação após a liberação a partir do recipiente em que foram dobradas e embaladas antes da liberação. Escreva uma expressão para a força F que a base do recipiente deve exercer sobre a haste durante a sua instalação em termos do comprimento crescente x e suas derivadas no tempo. A massa da haste por unidade do comprimento instalado é ρ . Considere a base de suporte sobre a nave espacial como uma plataforma fixa e assuma que a instalação ocorre fora de qualquer campo gravitacional. Despreze a dimensão b comparada com x .

Passo 1

Como a instalação ocorre fora de qualquer campo gravitacional, a única força externa agindo sobre a haste é a exercidade pela base, que vamos chamar de F , então:

F = m a + m ˙ v

Como a densidade linear da haste é ρ , podemos representar a massa em função do comprimento como:

m = ρ x

E então a taxa de variação da massa:

m ˙ = ρ ˙ x + ρ x ˙ = ρ x ˙

E a “velocidade” do sistema é simplesmente a taxa com que o comprimento x aumenta:

v = x ˙

E a aceleração é a taxa com que essa velocidade aumenta:

a = x ¨

Passo 2

Substituindo isso na fórmula, temos:

F = m a + m ˙ v

F = ρ x x ¨ + ( ρ x ˙ ) ( x ˙ )

F = ρ ( x x ¨ + x ˙ 2 )

Resolvido!

Resposta

A força exercida pela base deve ser F = ρ ( x x ¨ + x ˙ 2 ) .

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