Enunciado

A massa m de uma gota de chuva aumenta conforme ela assimila umidade durante a sua descida vertical através do ar parado. Se a resistência do ar ao movimento da gota é R e sua velocidade para baixo é v , escreva a equação do movimento para a gota e mostre que a relação ∑ F = d ( m v ) / d t é obedecida como um caso especial da equação de massa variável.

Passo 1

Temos duas forças externas agindo sobre a gota: a resistência do ar e o próprio peso da gota, então:

∑ F = m v ˙ + m ˙ u

m g - R = m v ˙ + m ˙ u

E aqui definimos o sentido positivo como sendo vertical para baixo.

Se a umidade que a gota “encontra” pelo caminho estava “parada” no ar, e depois passa a se mover junto com a gota, a velocidade com que a massa extra entra no sistema é a mesma da própria gota:

u = v

m g - R = m a + m ˙ v

E essa é a equação dinâmica que define o movimento da gota.

Passo 2

Podemos mostrar que essa relação obedece a seguinte relação:

∑ F = d m v d t

Porque quando aplicamos a regra do produto a essa derivada:

∑ F = m ˙ v + m v ˙

E quando reescrevemos as variáveis:

∑ F = m a + m ˙ v

Que é justamente a equação que encontramos ali em cima.

Resposta

A equação para o movimento da gota é m g - R = m a + m ˙ v .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um caminhão-tanque para lavar as ruas possui uma massa total de 10t quando o seu tanque está cheio. Com o jato igado, 40k g de água por segundo escoam do bocal com uma velocidade de 20m / s em relação
Um tanque, que possui uma massa de 50k g quando vazio, é empurrado para a esquerda por uma força P e recolhe água doce de um riacho que flui no sentido oposto com uma velocidade de 1,5m / s . A área d
O ônibus espacial, juntamente com o seu tanque central de combustível e os dois foguetes auxiliares, possui uma massa total de 2,04.10 6k g na decolagem. Cada um dos dois fogeutes auxiliares produz um
Um vagão ferroviário de carvão possui uma massa de 25t vazio transporta uma carga total de 90t de carvão. Os compartimentos são equipados com portas no fundo que permitem o descarregamento do carvão a
A extremidade superior da corrente de elos de comrpimento L e massa ρ por unidade de comprimento é abaixada a uma velocidade constante v pela força P . Determine a leitura R da balança de plataforma e